Η Θέση

Ο Κώστας πήγε στον κινηματογράφο «Αθήναιον» να δει την ταινία «Καζαμπλάνκα». Λόγω της ταινίας υπήρχαν μπροστά στο ταμείο μαζί με το Κώστα 17 άτομα. Μπροστά του υπάρχουν τριπλάσια άτομα απ’ όσα βρίσκονται πίσω του. Ποια είναι η θέση του από την αρχή της σειράς;

Διευκρίνιση:

Η σειρά ξεκινάει από το ταμείο. (Κατ.34)

Λύση

Λύση του Voulagx
Έστω «ν» ο αριθμός της θέσης του Κώστα, με "1" μικρότερο του "ν" μικρότερο του "17". Τότε:
ν-1=3(17-ν) ---> ν-1=51-3ν ---> 3ν+ν=51+1 ---> 4ν=52 ---> ν=52/3 ---> ν=13
Άρα ο Κώστας βρίσκεται στη 13η θέση.
Επαλήθευση:
ν-1=3*(17-ν) ---> 13-1=3*(17-13) ---> 12=3*4
Λύση του συντονιστή
Ο Κώστας βρίσκεται στην 13η θέση της ουράς. Τα άτομα που περιμένουν στη σειρά χωρίς το Κώστα είναι:
17-1=16 άτομα.
Τα 16 άτομα είναι χωρισμένα σε 4 ίσα μέρη, από τα οποία τα τρία τέταρτα βρίσκονται μπροστά από το Κώστα και το ένα τέταρτο πίσω του. Επομένως μπροστά του βρίσκονται:
16*(3/4)=4*3=12 άτομα.
Άρα ο Κώστας βρίσκεται στην 13η θέση της ουράς που περιμένει στο ταμείο.

Τα Χρήματα

Ο κ. Ασημάκης μια μέρα αποφάσισε να πάει παρέα με τους φίλους του σε μια ταβέρνα στη γειτονιά του για να θυμηθούν τα παλιά. Αφού παραγγείλανε τα σχετικά, αρχίσανε να συζητάνε και να θυμούνται τα περασμένα πίνοντας, τρώγοντας και τραγουδώντας παλιά τραγούδια. Έτσι πέρασε η ώρα και ο κ. Ασημάκης αποφάσισε να φύγει. Αφού πλήρωσε το λογαριασμό διαπίστωσε ότι είχε στο πορτοφόλι του τόσα λεπτά όσα ήταν τα ευρώ που είχε αρχικά. Επίσης τα ευρώ που έχει μετά την πληρωμή του λογαριασμού είναι τα μισά από τα λεπτά που είχε αρχικά. (π.χ. αρχικά είχε 12,10€ και μετά την πληρωμή του λογαριασμού έχει 5,12€). Τα οποία αντιστοιχούν στα μισά από αυτά που είχε στην αρχή πριν πληρώσει τον λογαριασμό. Πόσα χρήματα είχε αρχικά; (Κατ.34)

Λύση

Ο κ. Ασημάκης αρχικά είχε στο πορτοφόλι του 99,98€ και μετά τη πληρωμή του λογαριασμού είχε στο πορτοφόλι του 49,99€ που αντιστοιχούν στα μισά χρήματα που είχε αρχικά. Ο κ. Ασημάκης αρχικά είχε α € και β λεπτά μετά την πληρωμή του λογαριασμού είχε (β/2)€ και α λεπτά. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
α = 2*(β/2)+1 (1)
β = 2α–100 (2)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
α = 2*(β/2)+1 ---> α= β + 1 (3)
Αντικαθιστούμε τη (2) στη (3) κι’ έχουμε:
α = β+1 ---> α = 2α–100+1 ---> α = 99 (4)
Αντικαθιστούμε τη (4) στη (2) κι’ έχουμε:
β = 2α – 100 ----> β=[(2*99)-100] ---> β=198-100 ---> β=98 (5)
Επαλήθευση:
α = 2 *(β/2)+1 ---> α=2*(98/2)+1 ---> α=98+1 ----> α=99
β = 2α–100 ---> [(2*99)-100] ----> β=198-100 ----> β=98

Το Λάθος

Ο κ. Ασημάκης, συνταξιούχος του δημοσίου, πάει στην τράπεζα για να εξαργυρώσει μια επιταγή, η οποία ήταν «x» ευρώ  και «ψ» λεπτά. Ο ταμίας έκανε λάθος και του έδωσε «ψ» ευρώ και «x» λεπτά. Ο κ. Ασημάκης μη αντιλαμβανόμενος  το λάθος που έγινε φεύγει από την τράπεζα για να πάει στο σπίτι του. Στο δρόμο, πηγαίνοντας για το σπίτι, συνάντησε έναν φτωχό και του έδωσε 5 λεπτά!!. Φτάνοντας στο σπίτι διαπιστώνει ότι τα λεφτά που έχει στο πορτοφόλι είναι τα διπλά από ότι ήταν το ποσόν της επιταγής. Μπορείτε να βρείτε το ποσόν της επιταγής;

Διευκρίνηση:

Πριν ξεκινήσει ο κ. Ασημάκης για να πάει στην τράπεζα δεν είχε χρήματα. (Κατ.34)

Λύση

Το ποσόν της επιταγής του κ. Ασημάκη ήταν 31,63€. Έστω «χ» ευρώ και «ψ» λεπτά. Ο κ. Ασημάκης έπρεπε να πάρει (100χ+ψ) ευρώ ενώ ο ταμίας του έδωσε κατά λάθος (100ψ+χ) ευρώ. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
5+2*(100χ+ψ)=100ψ+χ (1)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
5+2*(100χ+ψ)=100ψ+χ ---> 5+200χ+2ψ=100ψ+χ ---> 200χ-χ=100ψ-2ψ-5 ---> 199χ=98ψ-5 ---> χ=(98ψ-5)/199 (2)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "ψ" τις τιμές από το 1 έως το Ν, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό "χ" είναι ο αριθμός ψ=63
Αντικαθιστούμε τη τιμή του «ψ» στη (2) κι’ έχουμε:
x=(98ψ-5)/199 ---> x=[(98*63)-5]/199 ---> x=( 6.174-5)/199 --->
x=6.169/199 ---> x=31 (3)
Επαλήθευση:
Λανθασμένη εξαργύρωση της επιταγής από τη ταμία:63,31€
Ποσό επιταγής:31,63€
Διαφορά:
63,31-31,63= 31,68€ (31,63€+0,05€)
Έδωσε 5 λεπτά στο φτωχό, οπότε του έμειναν:
63,31-0,05=63,26€
που αντιστοιχούν στο διπλάσιο ποσό από αυτό που έπρεπε να πάρει. (31,63€*2)
Επαλήθευση:
5+2*(100x+ψ)=100ψ+x ---> 5+2*[(100*31)+63]=[(100*63)+31] ---> 5+2*(3.100+63)=6.300+31 ---> 5+6.200+126=6.331 ο.ε.δ.
Διαφορετικός Τρόπος Λύσης:
Ο κ. Ασημάκης έπρεπε να πάρει α € και β λεπτά αλλά πήρε β € και α λεπτά.
Άρα τελικά (δίνοντας τα 5 λεπτά στο φτωχό) έμεινε με β € και (α-5) λεπτά
Η σχέση διπλάσιο στα λεφτά είναι στην ουσία δυο περιπτώσεις:
1. α € και β λεπτά –> 2α € και 2β λεπτά πχ 1,30 –> 2,60€
2. α € και β λεπτά –> (2α+1) € και (2β-100) λεπτά πχ 1,70 –> 3,40€
Αν δοκιμάσουμε την πρώτη περίπτωση φτάνουμε σε αδύνατο σύστημα ενώ για τη δεύτερη περίπτωση έχουμε:
β = 2α + 1 (1)
α-5 = 2β – 100 (2)
Αντικαθιστούμε την (1) στη (2) κι’ έχουμε:
α-5 = 2β – 100 ----> α-5=2*(2α+1)-100 ----> α-5=4α+2-100 ----> 4α-α=100-5-2 ----> 3α=100-7 ----> 3α=93 ----> α=93/3 ----> α=31 (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι’ έχουμε:
β = 2α + 1 ----> β=[(2*31)+1] ----> β=62+1 ----> β=63
Η αξία της επιταγής ήταν 31,63€, από λάθος του ταμία πήρε 63,31€, δίνει 5 λεπτά στο φτωχό και του μένουν 63,26€ που είναι το διπλάσιο του 31,63€.

Η Πυραμίδα

Το ύψος μιας Αιγυπτιακής πυραμίδας, σε μέτρα, είναι μεγαλύτερο από το γινόμενο δύο περιττών διψήφιων αριθμών, αλλά μικρότερο από το τετράγωνο του ημιαθροίσματός τους. Για ποιον Φαραώ κατασκευάσθηκε η εν λόγω πυραμίδα και πιο είναι το ύψος της; (Κατ.34)
Πηγή:Quantum:Μαθηματικοί Γρίφοι (Τόμος 1^ος, πρβ.15, Σελ.22)

Λύση

Η πυραμίδα κατασκευάστηκε περίπου το 2520 π.Χ., για τον Φαραώ Χεφρήν(≈2535 π.Χ-2479 π.Χ.).
[ή Χεφρήνος, ή Κχεφρέν, ή Κχαφρέ, ήταν Φαραώ στην Αρχαία Αίγυπτο. Με το όνομα Χεφρήν φέρεται από τον Ηρόδοτο, ο καλούμενος από άλλους αρχαίους Έλληνες συγγραφείς Χεβρύην ή Χαφράν. Ο Χεφρήν ήταν ο τρίτος Φαραώ της 4ης Δυναστείας. (2575-2467 π.Χ.). Ήταν δευτερότοκος γιος του Φαραώ Χέοπα που ανήλθε στο θρόνο διαδεχθείς τον αδελφό του Διδουφρήν, αν κι ο Ηρόδοτος και ο μετέπειτα Διόδωρος ο Σικελιώτης τον θεωρούσαν όχι ως γιο αλλά ως αδελφό και διάδοχο του Χέοπα. Ο Χεφρήν φέρεται να βασίλεψε 56 χρόνια. Κατά πολλούς ιστορικούς ερευνητές υποστηρίζεται η άποψη ότι τελικά ήταν λαομίσητος Φαραώ λόγω της καταναγκαστικής εργασίας που είχε επιβάλλει στο λαό του προκειμένου ν΄ ανεγερθεί η δεύτερη ξακουστή πυραμίδα στη Γκίζα της Αιγύπτου που φέρει και το όνομά του.]
Από τη διατύπωση του προβλήματος καταλαβαίνουμε ότι οι δύο περιττοί αριθμοί είναι διαφορετικοί, ειδάλλως, το γινόμενό τους θα ήταν ίσο με το τετράγωνο του ημιαθροίσματος τους. Επομένως, το ελάχιστο δυνατό γινόμενο είναι 11*13=143. Το επόμενο γινόμενο είναι 11*15=165. Αφού δεν υπάρχει καμιά πυραμίδα ψηλότερη από 165μ., οι περιττοί αριθμοί είναι το 11 και το 13, και το ύψος της πυραμίδας είναι μεγαλύτερο από τα 143μ., αλλά μικρότερο από τα [(11+13)/2]^2=(24/2)^2=12^2=144μ. Η πυραμίδα του Φαραώ Χέοπα (≈2609 π.Χ. – 2566 π.Χ.) έχει ύψος 146,60μ. και η πυραμίδα του Φαραώ Χεφρήνου έχει ύψος 143,50μ. Επομένως η πυραμίδα κατασκευάστηκε για τον Φαραώ Χεφρήνο.

Οι Καραμέλες

 

Ο Γιώργος και οι φίλοι του έχουν 450 καραμέλες τις οποίες μοίρασαν μεταξύ τους σε ίσα μερίδια και ο καθένας πήρε ακέραιο αριθμό από καραμέλες. Όμως τρεις από τους φίλους του Γιώργου του επέστρεψαν το 20% του μεριδίου τους. Έτσι ο Γιώργος πήρε συνολικά περισσότερες από 120 καραμέλες. Να βρείτε πόσα άτομα ήταν συνολικά μαζί με το Γιώργο και πόσες καραμέλες πήρε ο Γιώργος. (Κατ.34)

Πηγή:77ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ  ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

“Ο ΘΑΛΗΣ”/ 12 Νοεμβρίου 2016

Πηγή:https://drive.google.com/file/d/0B3sOOZaW1dRGTUtNMC1ULXBhaTg/view

Λύση

Μαζί με τον Γιώργο ήταν συνολικά 5 άτομα. Ο Γιώργος πήρε συνολικά 144 καραμέλες. Έστω ότι ο Γιώργος και οι φίλοι του ήταν συνολικά «x» άτομα, .όπου x ≥ 4 , από την υπόθεση. Τότε ο καθένας τους αρχικά πήρε:
450/x καραμέλες.(1)
Ο τρεις φίλοι επέστρεψαν στο Γιώργο συνολικά:
3*(20/100)*450/x)= (3*20*450)/100x=270/x καραμέλες (2)
Ο Γιώργος πήρε συνολικά:
(450/x)+(270/x)=720/x καραμέλες (3)
Σύμφωνα με την υπόθεση του προβλήματος βρίσκουμε ότι:
720/x μεγαλύτετο 120 ---> 120x μικρότερο 720 ---> x μικρότερο 720/120 ---> x μικρότερο 6
Επομένως οι δυνατές τιμές για το «x» είναι x = 4 ή x = 5.
Όμως η τιμή x = 4 απορρίπτεται, γιατί η διαίρεση (450: 4=112,5) δεν δίνει ακέραιο πηλίκο.
Άρα είναι x = 5 (4)
Αντικαθιστούμε την τιμή του «χ» στην (1) και βρίσκουμε ότι αρχικά ο καθ’ ένας πήρε από:
450/x=450/5=90* καραμέλες (5)
Αντικαθιστούμε την τιμή του «χ» στη (3) και βρίσκουμε ότι ο Γιώργος πήρε:
Αντικαθιστούμε την τιμή του «χ» στη (3) και βρίσκουμε ότι ο Γιώργος πήρε:
720/x=720/5=144 [90*+54**(18*3)] καραμέλες (πάνω από 120 καραμέλες εξ’ υποθέσεως) ή (3*20*450)/100x=(3*20*450)/100*5=(3*2*45)/5=270/5=144 καραμέλες
Ο καθ’ ένας από τους τρεις φίλους του επέστρεψε στο Γιώργο:
90*20%=18 καραμέλες
Και συνολικά οι τρεις φίλοι του επέστρεψαν:
**18*3=54 καραμέλες

Τα Ζεύγη

Πόσα ζεύγη πρώτων αριθμών έχουν άθροισμα  825;

Σημείωση:

Ερώτημα του λεπτού, που τέθηκε σ’ εξετάσεις μαθηματικών για SAT  (Κατ.34)
Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2016/12/825.html#comment-form

Λύση

Ένα ζεύγος. Όλοι οι πρώτοι αριθμοί πλην του 2 είναι περιττοί συνεπώς, εάν ένα ζεύγος πρώτων αριθμών αποτελείται από δυο περιττούς αριθμούς το άθροισμα είναι άρτιος αριθμός. Όμως το 825 είναι περιττός αριθμός, άρα εάν υπάρχει ζεύγος πρώτων αριθμών με άθροισμα περιττό αριθμό, αποτελείται από ένα περιττό αριθμό και έναν άρτιο αριθμό, από το 2 και τον 823 (825-2=823).Ο 823 είναι πρώτος αριθμός άρα το μοναδικό ζεύγος που ικανοποίει τις προϋποθέσεις του προβλήματος είναι (2, 823).

Η Μηνιαία Δόση

Τρεις φίλοι αγόρασαν από μια μοτοσυκλέτα, Α (BMW), Β (Honda), και Γ (Yamaha). Ο πωλητής, για την εξόφληση των μοτοσυκλετών, ζήτησε από τον καθένα να του δώσει αρχικά μια προκαταβολή και στη συνέχεια να πληρώνει μια συγκεκριμένη δόση κάθε μήνα. Οι τρεις φίλοι έδωσαν το ίδιο ποσό χρημάτων για προκαταβολή και συμφώνησαν να πληρώνουν την ίδια μηνιαία δόση. Το ποσό της μηνιαίας δόσης είναι ένας ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος από 100€. Εάν το συνολικό κόστος των μοτοσικλετών είναι 3.000€ για την μοτοσυκλέτα Α, 3.315€ για την μοτοσυκλέτα Β, και 3.840€ για την μοτοσυκλέτα Γ, να υπολογίσετε το ποσό της μηνιαίας δόσης. (Κατ.34)
Πηγή:Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου (2016)

Λύση

Το ποσό της μηνιαίας δόσης ανέρχεται στα 105€. Έστω «α» το ποσό της προκαταβολής και «β» το ποσό της κοινής μηνιαίας δόσης. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
(β/3.000)-α (1)
(β/3.315)-α (2)
(β/3.840)-α (3)
Από την πρώτη και τη δεύτερη σχέση προκύπτει:
β/3.315-3.000-α+α=315€ (α), η διαφορά κόστους των μοτοσικλετών «Α» και «Β».
Από την δεύτερη και τρίτη σχέση προκύπτει:
β/3.840-3.315-α+α=525 (β), η διαφορά κόστους των μοτοσικλετών «Β» και «Γ».
Από την (β) και (α) έχουμε:
525-315=210€ (γ), η διαφορά των δύο κοστών.
Από την (α) και (γ) έχουμε:
315-210=105€, η διαφορά των δύο κοστών.
Επειδή εξ’ ορισμού «...το ποσό της μηνιαίας δόσης είναι ένας ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος από 100€» ο μόνος θετικός διαιρέτης του 105 μεγαλύτερος του 100 είναι το 105, δεχόμαστε ως μηνιαία δόση το β=105€