Το Πρωτάθλημα

Δύο σχολεία παίρνουν μέρος στο σχολικό πρωτάθλημα πινγκ-πονγκ. Κάθε σχολείο έχει από 5 αθλητές. Σε κάθε ματς παίζουν δύο αθλητές του ενός σχολείου εναντίον δύο αθλητών του άλλου σχολείου, και αυτό γίνεται με όλους τους δυνατούς τρόπους. Κάθε ζευγάρι από το ένα σχολείο αντιμετωπίζει κάθε ζευγάρι του άλλου σχολείου ακριβώς μία φορά. Σε πόσα ματς θα παίξει ο κάθε μαθητής; (Κατ.5/Νο.86)

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Κάθε μαθητής κάθε σχολείου συμμετέχει-σχηματίζει σε 4 δυάδες με τους άλλους 4 συμμαθητές του και με την κάθε δυάδα θα παίξει με C(5,2)=10 δυάδες του άλλου σχολείου, άρα θα παίξει δε 4*10=40 ματς. Λύση του Γ. Ριζόπουλου. C(5,2)=10 οι δυνατές δυάδες κάθε πενταμελούς ομάδας. Κάθε μαθητής μπορεί να ζευγαρώσει με όλους τους υπόλοιπους της ομάδας, δηλαδή με 4. 4*10=40 τα ματς που θα παίξει. Λύση του Papaveri. Οι δυνατοί συνδυασμοί σε δυάδες κάθε πενταμελούς ομάδας ανέρχεται σε: Σ(5,2)=(5*4)/1*2 --> Σ(5,2)=20/2 --> Σ(5,2)=10δυάδες. Επειδεί κάθε μαθητής κάθε σχολείου συμμετέχει σε 4 δυάδες θα παίξει συνολικά: 4*10=40αγώνες.

Rebus No.197 (9)

Λύση

Αναλήψεως* [Αναλήψ(η)εως] *Ανάληψη του Κυρίου Ημών Ιησού Χριστού. ** Η Νήσος Αναλήψεως (στα Αγγλικά: Ascension Island) είναι ένα νησί στον νότιο Ατλαντικό Ωκεανό, περίπου 1.600 χμ από την ακτή της Αφρικής. Είναι εξαρτημένη περιοχή του Βρετανικού υπερπόντιου εδάφους της Νήσου Αγίας Ελένης, που βρίσκεται 1.287 χμ στα νοτιοανατολικά. Το νησί πήρε το όνομα του από την καταγεγραμμένη ημέρα της ανακάλυψης του, την ημέρα της Αναλήψεως του Σωτήρα. Στο νησί βρίσκεται το Αεροδρόμιο Γουαϊντεγουέηκ (Wideawake Airfield), που είναι μία από κοινού εγκατάσταση της Βασιλικής Πολεμικής Αεροπορίας και της Πολεμικής Αεροπορίας των Ηνωμένων Πολιτειών. Το νησί χρησιμοποιούταν από τον Βρετανικό στρατό κατά την διάρκεια του Πολέμου των Φώκλαντ. Στην Νήσο Αναλήψεως βρίσκεται μία από τις τρεις κεραίες (οι άλλες δύο βρίσκονται στην Ατόλλη Κουατζαλέιν και την Ατόλλη Ντιέγκο Γκαρσία) που βοηθούν στην λειτουργία του Συστήματος Παγκόσμιας Θέσης (GPS).Η Νήσος Αναλήψεως δεν έχει δική της σημαία ή εθνόσημο. Χρησιμοποιούνται η Σημαία της Ένωσης και το Βασιλικό εθνόσημο του Ηνωμένου Βασιλείου.

Οι Χειραψίες

Σε ένα συνέδριο συμμετείχαν «n» άνθρωποι, άλλοι χαιρετιούνται με χειραψία κι΄ άλλοι όχι. Υπάρχουν, τουλάχιστον, δύο άνθρωποι που έχουν κάνει τον ίδιο αριθμό χειραψιών; (Κατ.32/Νο.40)

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Κλασικό θέμα "περιστερώνα" Ντιριχλέ. Έστω κ σύνεδροι από τους n, κ<=n, αντάλλαξαν χειραψία, οι Σ1, Σ2, Σ3, ...,Σκ. Στην καλύτερη περίπτωση αντάλλαξαν 1,2,2,...,κ-1 χειραψίες, έτσι αν αντιστοιχίσουμε αν αντιστοιχίσουμε τους κ συνέδρους στις (κ-1) χειραψίες, οι (κ-1)σύνεδροι αντιστοιχίζονται στις (κ-1) χειραψίες ένα προς ένα και ο κ-ιοστός θα συμπέσει με έναν από τους (κ-1) σε κάποιο αριθμό χειραψιών από τις (κ-1). Γίνεται πιο κατανοητό αν αντί για χεραψίες-γνωριμίες των συνέδρων το δούμε με αντίστοιχο, ισοδύναμο παράδειγμα. Έχουμε 10 αντικείμενα (αντίστοιχο των κ σ.) και θέλουμε να τα τοποθετήσουμε σε 9 θέσεις, αναγκαστικά το 10ο αντικείμενο θα πάει σε μία από τις 9 που ήδη έχουν από ένα αντικείμενο, άρα σε μία θέση 2 αντικείμενα, πόσο μάλλον αν οι θέσεις είναι 8,7.., τότε 2, 3,.. αντικείμενα θα συμπέσουν. Άρα τελικά τουλάχιστον 2 άνθρωποι θα έχουν κάνει τον ίδιο αριθμό χειραψιών. Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Κλασικος περιστερωνας. Οι δυνατες χειραψιες( φωλιες) ειναι n, απο 0 (για οποιον δεν χαιρετα κανεναν) εως n-1 για οποιον χαιρετιεται με ολους. Αλλα η συνυπαρξη 0 και ν-1 ειναι ατοπη. Δεν μπορει να υπαρχει καποιος που εχει χαιρετησει ολους τους αλλους και ταυτοχρονα καποιος που δεν χαιρετησε κανεναν. Υγ. Συγγνωμη για το ατονικο. Ταμπλετας ενεκα. Αρα οι δυνατες χειραψιες ειναι ν-1. Οι ανθρωποι ειναι ν. Αρα σε καποια φωλια(αριθ.χειραψιων) κουρνιαζουν 2 περιστερια(ανθρωποι).

Rebus No.196 (11)

Λύση

Μεταμόρφωση* [Μ(XL=Μ=40)ετα(ΕΤΑ**)μόρφωση] *Μεταμόρφωση του Σωτήρος Ημών Ιησού Χριστού. Κατά τη διήγηση των Ευαγγελιστών, ο Κύριος μας Ιησούς Χριστός πήρε από τους μαθητές τον Πέτρο (βλέπε 29 Ιουνίου), τον Ιωάννη (βλέπε 26 Σεπτεμβρίου) και τον Ιάκωβο (βλέπε 30 Απριλίου) και ανέβηκε στό όρος Θαβώρ για να προσευχηθεί. Όπως σημειώνει ο Άγιος Νικόδημος ο Αγιορείτης: «Eπήρε δε τρεις μόνους Aποστόλους, ως προκρίτους και υπερέχοντας. O μεν γαρ Πέτρος επροκρίθη, επειδή ηγάπα πολλά τον Xριστόν. O δε Iωάννης, επειδή ηγαπάτο από τον Xριστόν. O δε Iάκωβος, επειδή εδύνετο να πίη το ποτήριον του θανάτου, το οποίον και ο Kύριος έπιεν». Οι τρεις μαθητές Του, όπως ήταν κουρασμένοι από τη δύσκολη ανάβαση στο Θαβώρ και ενώ κάθισαν να ξεκουραστούν, έπεσαν σε βαθύ ύπνο. Όταν, ξύπνησαν, αντίκρισαν απροσδόκητο και εξαίσιο θέαμα. Το πρόσωπο του Κυρίου άστραφτε σαν τον ήλιο, και τα φορέματα Του ήταν λευκά σαν το φως. Τον περιστοίχιζαν δε και συνομιλούσαν μαζί Του δυο άνδρες, ο Μωϋσής (βλέπε 4 Σεπτεμβρίου) και ο Ηλίας (βλέπε 20 Ιουλίου). Γράφει χαρακτηριστικά ο Άγιος Νικόδημος ο Αγιορείτης: «Έφερε δε εις το μέσον τους τον Mωυσήν και τον Ηλίαν, διά να διορθώση τας σφαλεράς υποψίας, οπού είχον οι πολλοί περί αυτού. Kαθότι, άλλοι μεν έλεγον τον Kύριον, πως είναι ο Ηλίας. Άλλοι δε, πως είναι ο Iερεμίας. Διά τούτο λοιπόν επαράστησεν εις το Θαβώρ τους πρώτους και κορυφαίους Προφήτας, διά να γνωρίσουν οι μαθηταί, και διά των μαθητών όλοι οι άνθρωποι, πόση διαφορά είναι αναμεταξύ του Xριστού, και των Προφητών. O μεν γαρ Xριστός, είναι Δεσπότης. Oι δε Προφήται, είναι δούλοι. Kαι ίνα μάθουν, ότι ο Kύριος έχει την εξουσίαν του θανάτου και της ζωής. Διά τούτο, από μεν τους αποθαμένους, έφερε τον Mωυσήν. Aπό δε τους ζωντανούς, έφερε τον Ηλίαν». Αφού οι μαθητές συνήλθαν κάπως από την έκπληξη, ο πάντα ενθουσιώδης, Πέτρος, θέλοντας να διατηρηθεί αυτή η αγία μέθη που προκαλούσε η ακτινοβολία του Κυρίου, ικετευτικά είπε να στήσουν τρεις σκηνές. Μια για τον Κύριο, μια για το Μωϋσή και μια για τον Ηλία. Πριν προλάβει, όμως, να τελειώσει τη φράση του, ήλθε σύννεφο που τους σκέπασε και μέσα απ' αυτό ακούστηκε φωνή που έλεγε: «Οὗτος ἐστὶν ὁ υἱός μου ὁ ἀγαπητός· αὐτοῦ ἀκούετε» (Λουκά, θ' 28-36). Δηλαδή, Αυτός είναι ο Υιός μου ο αγαπητός, που τον έστειλα για να σωθεί ο κόσμος. Αυτόν να ακούτε. Οφείλουμε, λοιπόν, και εμείς όχι μόνο να Τον ακούμε, αλλά και να Τον υπακούμε. Σε οποιοδήποτε δρόμο μας φέρει, είμαστε υποχρεωμένοι να πειθαρχούμε. **Η ΕΤΑ είναι Βασκική αυτονομιστική οργάνωση μαρξιστικης αναλυσης, που δρα στη Ισπανία, όπου υιοθετώντας πολλές φορές βίαιες μεθόδους στην εκστρατεία που αναλαμβάνει για αναγνώριση βασκικού κράτους έχει χαρακτηρισθεί από τις ΗΠΑ και την ΕΕ ως τρομοκρατική οργάνωση. Το όνομά της είναι το αρκτικόλεξο των βασκικών λέξεων "Euskadi Ta Askatasuna" (= "Βασκικη γη και Ελευθερία"). Ιδρύθηκε αρχικά ως οργάνωση για τη διαφύλαξη της πολιτιστικής κληρονομιάς των Βάσκων το 1959 καθώς και για να εξασκήσει αντίσταση ενάντια στη δικατορία του Φράνκο. Γρήγορα όμως εξελίχθηκε σε παραστρατιωτική ένοπλη οργάνωση, μαρξιστικής ιδεολογίας με στόχο την αυτοδιάθεση και την ανεξαρτησία των Βάσκων.

Οι Πωλήσεις

Την χρονιά που μας πέρασε (2013) ένα βιβλιοπωλείο πούλησε συνολικά 600 βιβλία Μαθηματικών. Το βιβλιοπωλείο ήταν ανοικτό και τις 7 μέρες κάθε εβδομάδας και πουλούσε τουλάχιστον ένα βιβλίο Μαθηματικών τη μέρα. Είναι αλήθεια ότι υπήρξε μια περίοδος από διαδοχικές ημέρες όπου πουλήθηκαν ακριβώς 129 βιβλία; (Κατ.34/Νο.702)

Πηγή:http://diadiktyomathphys.wordpress.com/

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Ωραίο αριθμοθεωρητικό πρόβλημα! Φωνάζει μεν πως είναι εφαρμογή της αρχής του Ντίριχλετ (Περιστερώνας), αλλά η τεχνική απόδειξη δεν είναι τόσο απλή υπόθεση. Ας ονομάσουμε π(ν) τις αθροιστικές/ανακεφαλαιωτικές πωλήσεις βιβλίων στη νιοστή μέρα. Έχουμε προφανώς: π(ν-1) < π(ν) , π(365)=600 ,και ν μεταξύ 1 και 365.Ισχύει: 1 ≤ π(1) < π(2) < π(3) <…< π(365) (1) Προσθέτοντας 129 στις ανισότητες της (1),έχουμε: 130 ≤ π(1)+129 < π(2)+129 < … < π(365)+129 = 729 (2) Οι ακέραιοι: π(1), π(2),…π(365) είναι 365 διακριτοί (διαφορετικοί μεταξύ τους) ακέραιοι. Ομοίως και οι : π(1)+129, π(2)+129,…,π(365)+129. Άρα τα στοιχεία του συνολου Α={π(1),π(2)…,π(365), π(1)+129,…,π(365)+129} που έχει Card(A)=2*365=730 (δηλαδή έχει 730 στοιχεία) παίρνουν τιμές από 1 ως και το 729. Από Περιστερώνα, έπεται πως 2 στοιχεία πρέπει να είναι ίσα. Τα π(ν) (ν=1,2,…,365) όμως,όπως προείπα, είναι όλα διαφορετικά μεταξύ τους, όπως είναι διαφορετικά μεταξύ τους και τα π(ν)+129 (ν=1,2,…,365), οπότε υποχρεωτικά κάποιο από τα π(ν) ισούται με κάποιο από τα π(ν)+129. Έστω λοιπόν πως: π(i)=π(m)+129 ,με 1 ≤ m < i ≤365 Eπομένως, στο χρονικό διάστημα μεταξύ της (m+1)μέρας και της i-στής (συμπεριλαμβανομένης της μέρας i ) πουλήθηκαν ακριβώς 129 βιβλία. (αφού π(i) –π(m)=129 ). Quod Erat Demonstrandum. YΓ. Προφανώς , με τον ίδιο τρόπο ,μπορούμε να δείξουμε πως οποιοσδήποτε αριθμός βιβλίων μεταξύ 1 και 600 πουλήθηκαν σε κάποιο συνεχόμενο χρονικό διάστημα ημερών από 1 έως 365.

Σχέδιο Νίκης

Στον πίνακα είναι γραμμένοι όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 1 έως το 500.
Δύο μαθητές ο «Α» και ο «Β» παίζουν το εξής παιχνίδι:
«Με τη σειρά διαγράφουν ο ένας μετά τον άλλο από έναν αριθμό. Το 
παιχνίδι τελειώνει όταν στον πίνακα απομείνουν δύο αριθμοί.»
Εάν το άθροισμα των αριθμών που απομένουν διαιρείται με το 3, νικητής 
είναι ο «Β».
Εάν το άθροισμα των αριθμών που απομένουν δεν διαιρείται με το 
3,νικητής είναι ο «Α».
Εάν ο «Α» αρχίσει πρώτος, ο «Β» μπορεί να διμηουργήσει μια στρατηγική 
νίκης; (Κατ.3/Νο.27) 
Πηγή:Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Αρχιμήδης 2001"
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2011/04/blog-post_6264.html

Λύση

Λύση του Γ Ριζόπουλου. Σο=[(α+τ)*ν]/2 --> Σο=[(1+500)500]/2 --> Σο=(500*501)/2=125250=0mod3. Υπάρχουν 250 ζεύγη με άθροισμα 501: (1+500=501), (2+499=501),(3+498=501),...,(250+251=501), 501/3=167 =0mod3. Oπότε ο «Β» παίκτης έχει νικητήρια στατηγική επιλέγοντας το ταίρι σε κάθε ζεύγος. Ο «Α» επιλέγει δηλαδή οποιονδήποτε αριθμό «κ» , και ο «Β» επιλέγει τον «501-κ», αφήνοντας το άθροισμα αμετάβλητο «mod3», δηλαδή, «0mod3». Π.χ. Εάν ο «Α» διαγράψει τον αριθμό 3 , ο «Β» διαγράφει τον αριθμό 498 (500-3=498), κ.λ.π. Λύση του Ε. Αλεξίου. 1+2+3+..+500=125250, 125250=0 mod 3, 500/3=166.6666, άρα υπάρχουν 166 αριθμοί που διαιρούνται με το 3(0mod3) και συνεπώς 167 αριθμοί 1mod3(166αρ και το 1) και 167 αριθμοί 2mod3(166 αρ. και το 2) Με βάση τα παραπάνω δεδομένα και το ότι ο «Β» παίζει 2ος ακολουθεί την παρακάτω στρατηγική: Aνάλογα με τον αριθμό που θα διαγράφει ο «Α», ο «Β» θα διαγράφει αριθμό έτσι που το άθροισμα των υπόλοιπων αριθμών να είναι 0 mod 3, πχ αν ο «Α» αριθμό 0 mod 3 o «Β» διαγράφει επίσης 0 mod 3, αν ο «Α» διαγράψει 1 mod 3 ή 2 mod 3 ο «Β» θα διαγράψει 2 mod 3 ή 1 mod 3 αντίστοιχα, έτσι οι 2 τελευταίοι αριθμοί ή θα είναι και οι δύο 0 mod 3, άρα άθροισμα 0 mod3 + 0 mod 3 = 0 mod 3 ή ένας 1 mod 3 και ένας 2 mod 3, άρα άθροισμα 1 mod3 + 2 mod 3 =3 mod 3=0 mod 3. Σε κάθε περίπτωση ο «Β» είναι ο νικητής.

Τα Σκαλιά

Ένας νεαρός κατεβαίνει μία κυλιόμενη σκάλα, ενός εμπορικού κέντρου, αφού έχει πατήσει 50 σκαλιά. Στη συνέχεια ανεβαίνει ένα ένα τα σκαλιά αλλά πιο γρήγορα και φτάνει πάνω αφού έχει πατήσει 125 σκαλιά. Αν υποθέσουμε ότι ανέβηκε 5 φορές πιο γρήγορα από ότι κατέβηκε, τότε πόσα σκαλιά είναι ορατά όταν η σκάλα δεν βρίσκεται εν κινήσει? (Κατ.34/Νο.701)

Πηγή:Martin Gardner

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2011/04/blog-post_5858.html

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Εκατό σκαλιά είναι ορατά όταν η σκάλα δεν βρίσκεται εν κινήσει. Eστω x το ζητούμενο (ορατά σκαλιά σε στάση) Έστω ρ ο ρυθμός (αριθμός σκαλιών ανά δευτερόλεπτο)της σκάλας όταν κινείται. Εστω t o xρόνος για να ανέβει.Ο χρόνος καθόδου του είναι διπλάσιος 2t. έχουμε: Στην κάθοδο: x-2ρt=50 (1) (Στην κάθοδο, ο αριθμός σκαλιών που κατεβαίνει ισούται με τον αριθμό των σκαλιών σταματημένου, πλην τον αριθμό σκαλιών που κινούνται σε χρόνο 2t) Στην άνοδο: x+ρt=125 (2) Στην άνοδο ο αριθμός σκαλιών που κάνει είναι τα σταματημένα σύν τα κινούμενα σε χρόνο t. Άρα έχουμε: x-2ρt=50 (1) x+ρt=125 --> 2(x+ρt)=125*2 --> 2x+2ρt =250 (3) Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1) και (3), κι’ έχουμε: 3x=300 --> x=300/3 --> x=100 σκαλιά ορατά σε στάση. Λύση του Ε. Αλεξίου. Εκατό σκαλιά είναι ορατά όταν η σκάλα δεν βρίσκεται εν κινήσει. Αν Κ τα σκαλιά σε ηρεμία, Χ η ταχύτητα του νεαρού στην κάθοδο άρα 5Χ στην άνοδο και Υ η ταχύτητα της σκάλας, τότε 50/X =(K-50)/Y (1) 125/(5X) =(125-K)/Y (2) Από την (1) συνάγουμε ότι: (Κ-50)Χ=50Υ --> ΚΧ-50Χ=50Υ (3) Από τη (2) συνάγουμε ότι: 125/(5X) =(125-K)/Y --> 25/Χ=(125-Κ)/Υ --> (125-Κ)Χ=25Υ (4) Στην άνοδο ο αριθμός σκαλιών που κάνει είναι τα σταματημένα σύν τα κινούμενα σε χρόνο t. Άρα έχουμε: (125-Κ)Χ=25Υ --> 2*(125-Κ)Χ=2*25Υ --> (250-2Κ)Χ=50Υ --> 250Χ-2ΚΧ=50Υ (5) Αφαιρούμε κατά μέλη από τη (5) τη (3), κι’ έχουμε: (250Χ-2ΚΧ=50Υ)-(ΚΧ-50Χ=50Υ)--> 250Χ-2ΚΧ-ΚΧ+50Χ=50Υ-50Υ -->-3ΚΧ+300Χ=0 --> 3ΚΧ=300Χ --> Κ=300Χ/3Χ --> Κ=100 σκαλιά Και η ταχύτητα του νεαρού με τη ταχύτητα της σκάλας είναι ίση (Χ=Υ).