Η Γιορτή

Σε μια γιορτη συμμετείχαν 43 άτομα από 7 παρέες και των δύο φύλων. Υπήρχε στη γιορτη μία τουλάχιστον παρέα με 4 άτομα του ίδιου φύλου; (Κατ.27/Νο.385)

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Έστω ότι δεν υπάρχει, τότε η κάθε παρέα από τις 7 θα έχει το πολύ 3Α και 3Γ, 3+3=6, 6*7=42 το πολύ άτομα, άτοπο αφού όλα τα άτομα είναι 43, άρα μία παρέα τουλάχιστον θα έχει 4 άτομα του ιδίου φύλου. Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Από την Αρχή του Περιστερώνα (Schubfachprinzip)προκύπτει πως μία τουλάχιστον παρέα είχε τουλάχιστον 7 άτομα. (6*7=42 μικρότεροτου 43) Αυτή η παρέα έχει (με βάση την ίδια αρχή) 4 τουλάχιστον άτομα του ίδιου φύλου (2*3=6μικρότερο του 7). Λύση του Papaveri. Ναί, υπήρχε. Τα 42 άτομα αναλύονται σε 7 παρέες των 6 ατόμων (τρεις άνδρες και τρεις γυναίκαις). Το ένα άτομο που περισσεύει μπορεί να είναι ή άνδρας ή γυναίκα, οπότε ανάλογα μπορεί να σχηματιστεί μια παρέα του ιδίου φύλου από τέσσερα άτομα από άνδρες ή από γυναίκες (4άνδρες+3γυναίκες ή 4γυναίκες+3άνδρες).

Η Δεξαμενή

Πέντε βάνες φέρνουν νερό σε μία δεξαμενή. Εάν είναι ανοιχτή μόνο η πρώτη βάνα η δεξαμενή γεμίζει στο 1/3 της ημέρας. Εάν είναι ανοιχτή μόνο η δεύτερη βάνα τότε η δεξαμενή γεμίζει σε 1 ημέρα. Εάν είναι ανοιχτή μόνο η τρίτη βάνα η δεξαμενή γεμίζει σε 2 και 1/2 ημέρες. Εάν είναι ανοιχτή μόνο η τέταρτη βάνα  η δεξαμενή γεμίζει σε 3 μέρες. Και εάν είναι ανοιχτή μόνο η πέμπτη βάνα η δεξαμενή γεμίζει σε σε 5 ημέρες. Σε πόσο χρόνο θα γεμίσει η δεξαμενή, εάν είναι ανοιχτές συγχρόνως και οι πέντε βάνες; (Κατ.34/Νο.700) Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2011/04/blog-post_8090.html

Λύση

Η δεξαμενή θα γεμίσει σε 4ωρ. 51,89΄ λεπτά και 53,51΄΄ λεπτά. Έστω «ω» οι ώρες που χρειάζεται η δεξαμενή για να γεμίσει. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως έχουμε: Η πρώτη βάνα γεμίζει ανά ημέρα τα 3/1 της δεξαμενής, η δεύτερη βάνα γεμίζει ανά ημέρα το 1/1 της δεξαμενής, η τρίτη βάνα γεμίζει ανά ημέρα τα 2/5 της δεξαμενής, η τέταρτη βάνα γεμίζει ανά ημέρα το 1/3 της δεξαμενής, και η πέμπτη βάνα γεμίζει ανά ημέρα το 15 της δεξαμενής αντίστοιχα. Άρα και οι πέντε βάνες μαζί τη γεμίζουν σε μια ημέρα(24ώρες): ω*(3/1+1/1+2/5+1/3+1/5)=1ημέρα. Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π., που είναι Ε.Κ.Π.(3,5)=3*5=15, κι’ έχουμε: [(3*15)+(1*15)+(2*3)+(1*5)+(1*3)]*ω=1*15 --> (45+15+6+5++3)*ω=15 -> 74*ω=15 --> ω=15/74 της ημέρας. Μετατρέπουμε τα 15/74 της ημέρας σε ώρες. Η μια ημέρα έχει 24 ώρες, οπότε έχουμε: (15/74)*24ω.=360/74= 4,8648648648648648648648648648649ω. Μετατρέπουμε τα 0,8648648648648648648648648648649 της ώρας σε πρώτα λεπτά. Η μία ώρα έχει 60΄ λεπτά, οπότε έχουμε: 0,8648648648648648648648648648649*60΄=51,89189189189189189189189189184΄ Μετατρέουμε τα πρώτα λεπτά σε δεευτερόλεπτα. Το ένα λεπτό έχει 60΄΄λεπτά, οπότε έχουμε: 0,89189189189189189189189189184*60΄΄=53,5135135135135135135135135104΄΄ Άρα για να γεμίσει η δεξαμενή χρειάζεται ακριβώς:4ωρ. 51,89΄ λεπτά και 53,51΄΄ λεπτά.

Rebus No.195 (10)

Λύση

Πεντηκοστή* [Πεντ(ε)ηκοστη(Εικοστή=Πέντε στην Εικοστή)] *Επιφοίτηση του Αγίου Πνεύματος στους Αποστόλους πενήντα ημέρες μετά την Ανάσταση του Ιησού Χριστού(Πράξεις β' 1-41). Η εορτή αυτή αντιστοιχεί με την επίσης μεγάλη ετήσια εορτή των Ιουδαίων η οποία στις Εβραϊκές Γραφές (Παλαιά Διαθήκη) αποκαλείται Γιορτή του Θερισμού ή Γιορτή των Εβδομάδων. (Έξοδος 23:16, 34:22), η οποία ήταν καθαρά γεωργική εορτή με τελείως διαφορετικό περιεχόμενο. Την ημέρα της Πεντηκοστής έλαβε χώρα η επιφοίτηση του Αγίου Πνεύματος στους 120 μαθητές (περιλαμβανομένων και των αποστόλων του Ιησού) οπότε, σύμφωνα με τις Πράξεις των Αποστόλων, έλαβαν Άγιο Πνεύμα μιλώντας σε ξένες γλώσσες (γλωσσολαλιά) «για τα θαυμαστά έργα του Θεού», γεγονός που έγινε αντιληπτό από Ιουδαίους και προσήλυτους που ήταν στην Ιερουσαλήμ για τη γιορτή των Εβδομάδων. Ως αποτέλεσμα, έπειτα και από το κήρυγμα του Πέτρου, βαφτίστηκαν εκείνη την ημέρα 3.000 νέα μέλη της χριστιανικής εκκλησίας. (Πράξεις 1:13-15• 2:1-41) Εκείνη η ημέρα ήταν 50 ημέρες μετά την ανάσταση του Ιησού Χριστού που συνέπεσε στις 16 Νισάν(2 Μαρτίου με το Γρηγοριανό ημερολόγιο).

Ο Αριθμός

Παίρνουμε έναν οποιοδήποτε διψήφιο αριθμό «αβ» και δημιουργούμε έναν πενταψήφιο, χρησιμοποιώντας το διψήφιο δυο φορές και παρεμβάλλοντας το μηδέν «αβ0αβ». Με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το διψήφιο αριθμό για να βρούμε τον πενταψήφιο αριθμό; (Κατ.34/Νο.699)
Πηγή: IΔ΄ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 2013

Λύση

Με τον αριθμό 1.001. Έστω «ω» ο ζητούμενος αριθμός και ο πενταψήφιος αριθμός είναι της μορφής (10.000α+1.000β+0*100+10α+β).Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: αβ0αβ =ω*αβ --> 10.000α+1.000β+0*100+10α+β =ω*(10α+β) --> 10.010α+1.001β= ω*(10α+β) --> 1.001*(10α+β)=ω*(10α+β) --> ω=(1.001*(10α+β)/(10α+β) --> ω=1001 (1) Επαλήθευση: Έστω «α=2» και «β=5» αβ0αβ =ω*αβ --> 25025=1.001*25 Παρατηρούμε ότι ο πενταψήφιος αριθμός είναι μια χιλιάδα διψήφιου αθροιζόμενη με τον ίδιο, δηλαδή 1001. Αναλύοντας σε παράγοντες το 1001 έχουμε 7, 11, και 13. Άρα ο αρχικός διψήφιος αριθμός εμφανίζεται εκ νέου αφού πολλαπλασιάστηκε και διαιρέθηκε με τον ίδιο αριθμό, το 1001. 25025:7=3.575:11=325:13=25 Βλέπουμε ότι το αποτέλεσμα της τελευταίας διαίρεσης είναι ο αριθμός που ορίσαμε στο παράδειγμα (25), ο οποίος καλείται εκλεκτός αριθμός.

Το Γράμμα ΙΙ

Γράφουμε τη λέξη «ΔIAΓΩNIΣMOΣ» ξανά και ξανά την μια δίπλα στην άλλη, χωρίς κενά ώστε να σχηματιστεί η λέξη:

«ΔIAΓΩNIΣMOΣΔIAΓΩNIΣMOΣΔIAΓΩNIΣMOΣ...» 

Ποιo γράμμα βρίσκεται στη 2011^η θέση; Κατ.34/Νο.698)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/05/2011.html

Λύση

Το γράμμα «Μ». 2011=9mod11. Ή 2011/11 =182,8181...=182+9/11

Η Είσπραξη

Ένας παραγωγός καρπουζιών έστειλε τους τρεις γιους του στην αγορά να πουλήσουν καρπούζια. Στον καθ’ ένα έδωσε την εξής ποσότητα καρπουζιών:

Στο μεγαλύτερο γιο έδωσε 30 καρπούζια.

Στο μεσαίο γιο έδωσε 20 καρπούζια.

Στο μικρότερο γιο έδωσε 10 καρπούζια.

Ο πατέρας τους έδωσε την εντολή να πουλήσουν ολοι μαζί στην ίδια τιμή 
και να εισπράξουν τον ίδιο αριθμό χρημάτων. Είναι δυνατόν να 
πραγματοποιειθεί αυτή η απαίτηση; (Κατ.34/Νο.697) 

Πηγή:Εφαρμογές της Επίλυσης Προβλημάτων και της Διδασκαλίας ...

Διαβάστε περισσότερα »

Ο Καιρός

A)Όταν έχει ήλιο την Δευτέρα, τότε έχει όλες τις μέρες της εβδομάδας ήλιο. Έτσι, εάν δεν είχε ήλιο την Πέμπτη, τότε:

α)Δεν είχε ήλιο την Δευτέρα;

β)Δεν είχε ήλιο όλες τις μέρες της εβδομάδας;

γ)Δεν είχε ήλιο την προηγούμενη μέρα; 

δ)Δεν είχε ήλιο και τις επόμενες μέρες, από την Πέμπτη και μετά;

Ποια πρόταση από τις ανωτέρω είναι σωστή;
Πρόταση από τον φίλο της ιστοσελίδας κ. Ε. Αλεξίου, τον οποίο
ευχαριστώ.
Β)Με το ίδιο δεδομένο: "Όταν έχει ήλιο την Δευτέρα, τότε έχει όλες τις μέρες της εβδομάδας ήλιο." Αρκετά ενδιαφέρον είναι και το ερώτημα: «Αν είχε ήλιο την Πέμπτη (ή όποια άλλη ημέρα πλην της Δευτέρας) αυτό σημαίνει ότι είχε ήλιο την Δευτέρα;» (Κατ.28/Ν0.20)

Λύση

α)Σωστή είναι η πρόταση «α». β)Όχι.