Η Προκαταβολή

Αγόρασε κάποιος έναν υπολογιστή και πλήρωσε προκαταβολή το 60% της αξίας του. Αν όμως έδινε 360€ επιπλέον, θα χρωστούσε ακόμα το 25% της αξίας του υπολογιστή. Τι ποσό έδωσε ως προκαταβολή; (Κατ.34/Νο.657)

Πηγή:http://nikos-kritikos.blogspot.gr/2013/11/blog-post_14.html

Λύση

Διαβάστε περισσότερα »

Rebus No.136 (10,7)

Λύση

Πειρατικός Σταθμός [Πειρατικός(Πειρατές) Σταθμός(Σιδηροδρομικός)]

Η Ημέρα

Η 25η Σεπτεμβρίου ενός έτους, ήταν Σάββατο. Να βρείτε τι μέρα ήταν η 1η Απριλίου του ίδιου έτους και κάποιο έτος που να συμφωνεί με τα δεδομένα του προβλήματος. (Κατ.13/Νο.35)

Πηγή:Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία - Επαρχιακός Μαθηματικός Διαγωνισμός (Νοέμβριος 2013)

Πηγή:Ε' ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ - PRIMARY LEVEL 5 

Λύση

Από την 1η Απριλίου μέχρι 25 Σεπτεμβρίου έχουμε 30 +31 + 30 +31+31+25 = 178 μέρες. Μέχρι τις 22 Σεπτεμβρίου έχομε ακριβώς 25 εβδομάδες (25*7=175ημέρες). Άρα ότι μέρα είναι την 1η Απριλίου ίδια μέρα θα είναι στις 23 Σεπτεμβρίου. Αφού η 25η Σεπτεμβρίου ήταν Σάββατο, η 23η Σεπτεμβρίου ήταν Πέμπτη και η 1η Απριλίου Πέμπτη. Ένα έτος που συμφωνεί με τα δεδομένα του προβλήματος είναι το 2010. Λύση του sw. Η 1η Απριλίου είναι 91η ημέρα του χρόνου και η 25 Σεπτεμβρίου είναι η 268η ημέρα του χρόνου. με αφαίρεση έχουμε 268-91=177 ημέρες ενδιάμεσα. Αυτό σημαίνει 177/7=25 εβδομάδες και 2 ημέρες ακόμα. Δηλαδή εάν η 25 Σεπτεμβρίου είναι Σάββατο η 1η Απριλίου πρέπει να ήταν Πέμπτη. Το 2010 ήταν μία χρονιά με την 1η Απριλίου Πέμπτη και φυσικά την 25η Σεπτεμβρίου Σάββατο.

Rebus No.135 (10)

Λύση

Μπαλαλάϊκα [Μπαλα(ποδοσφαίρου)λάϊκα*] * Η Λάικα (στα Ρώσικα Лайка, "Αυτή που γαβγίζει") ήταν μία σκυλίτσα που χρησιμοποιήθηκε στο Σοβιετικό Διαστημικό Πρόγραμμα. Στις 3 Νοεμβρίου 1957, έγινε ο πρώτος ζωντανός οργανισμός που μπήκε σε τροχιά γύρω από τη Γη, επιβαίνοντας στον τεχνητό δορυφόρο Σπούτνικ 2. Πριν γίνει πειραματόζωο της Σοβιετικής Διαστημικής Υπηρεσίας, ήταν αδέσποτο στην Μόσχα. Η επιλογή ενός αδέσποτου ήταν σκόπιμη, ώστε να έχει συνηθίσει στο κρύο και την πείνα και να μπορεί να ανταπεξέλθει ευκολότερα τυχόν δυσμενείς καταστάσεις κατά την πτήση. Ήταν ημίαιμη, πιθανώς τριών ετών. Το όνομά της στην αρχή ήταν Kudryavka ("μικρή σγουρομάλλα" στα Ρώσικα) ενώ την φώναζαν και Zhuchka ("Ζουζούνι") και Limonchik ("Λεμόνι").Πέρασε μία σχετική εκπαίδευση εξοικείωσης με περιορισμέ-νους χώρους και με τους θορύβους και την επιτάχυνση της εκτόξευσης και στις 3 Νοέμβριου 1957 (για να γιορταστεί η 40-ή επέτειος της Ρωσικής Επανάστασης) εκτοξεύτηκε με το Σπούτνικ 2. Το Σπούτνικ 2 είχε σχεδιαστεί και κατασκευαστεί στα γρήγορα, σε μόλις 1 μήνα, καθώς ο Νικίτα Χρουστσόφ είχε δώσει ρητή εντολή να προλάβει να εκτοξευτεί ο δορυφόρος στην επέτειο της Ρωσικής Επανάστασης. Ως αποτέλεσμα, αντίθετα με τους μεταγενέστερους σοβιετικούς δορυφόρους, δεν είχε προλάβει να σχεδιαστεί και για ασφαλή επανείσοδο στην ατμόσφαιρα και έτσι η Λάικα ήταν καταδικασμένη απ' τη στιγμή που άρχισε το ταξίδι της. Το σχέδιο ήταν να μείνει ζωντανή επί 10 μέρες σε τροχιά, τρεφόμενη με ένα τζελ που περιείχε θρεπτικά συστατικά, και ύστερα να της γίνει ευθανασία, με δηλητήριο που είχε τοποθετηθεί στο τζελ που θα κατανάλωνε την δέκατη ημέρα. Οι αισθητήρες που ήταν τοποθετημένοι πάνω της έδειξαν ότι επιβίωσε απ' την εκτόξευση, οι παλμοί της όμως έφτασαν τους τριπλάσιους από το κανονικό λόγω του φόβου και επανήλθαν μετά από πολλή ώρα. Επειδή ακριβώς το Σπούτνικ 2 είχε κατασκευαστεί πολύ γρήγορα και πρόχειρα, προκειμένου να προλάβει την επέτειο της Επανάστασης, λίγο μετά την επιτυχή τοποθέτηση σε τροχιά γύρω από τη Γη παρουσιάστηκε μία βλάβη στο σύστημα θερμομόνωσης και εξαερισμού, με αποτέλεσμα η θερμοκρασία στον χώρο που βρισκόταν η Λάικα να φτάσει ή ίσως και ξεπεράσει τους 40 βαθμούς Κελσίου. Καθώς ο οργανισμός των σκύλων δεν μπορεί να αντέξει τέτοια υπερθέρμανση, λόγω έλλειψης ιδρωτοποιών αδένων, η Λάικα πέθανε από έναν συνδυασμό θερμοπληξίας, καταπόνησης και ακραίου στρες, σε 5 έως 7 ώρες μετά την εκτόξευση, αφού είχε συμπληρώσει 4 τροχιές γύρω από τη Γη. Το Σπούτνικ 2 εξαερώθηκε κατά την επανείσοδό του στην ατμόσφαιρα στις 14 Απριλίου 1958, μετά από 2.570 τροχιές γύρω από τη Γη. Εκτός από τον πρώτο ζωντανό οργανισμό σε τροχιά, έγινε έτσι και το πρώτο θύμα της εξερεύνησης του διαστήματος. Η πτήση της όμως απέδειξε ότι οι ζωντανοί οργανισμοί μπορούσαν να επιβιώσουν από μια εκτόξευση και από τις συνθήκες που επικρατούν σε τροχιά και έδωσε τα πρώτα στοιχεία για το πως συμπεριφέρονται τα έμβια όντα στο διάστημα. Παρόλα αυτά, ο τότε εκπαιδευτής της, Όλεγκ Γκαζένκο, το 1998 δήλωσε ότι «Όσο ο καιρός περνάει, μετανιώνω όλο και πιο πολύ γι' αυτό. Αυτά που μάθαμε από αυτή την αποστολή δεν ήταν τόσα ώστε να δικαιολογούν το θάνατο του σκυλιού». Το σύντομο ταξίδι της Λάικα, την έκανε ένα από τα πιο διάσημα σκυλιά του κόσμου. Απεικονίστηκε σε γραμματόσημα σε πολλές χώρες, και μάρκες από τσιγάρα και σοκολάτες είχαν το όνομά της. Τις τελευταίες δεκαετίες, έχει γίνει και όνομα συγκροτημάτων και τραγουδιών. Τον Νοέμβριο του 1997, σαράντα χρόνια μετά την πτήση της Λάικα, ένα μνημείο πεσόντων αστροναυτών ανεγέρθηκε στην Αστρόπολη, το κέντρο εκπαίδευσης των Σοβιετικών αστροναυτών κοντά στην Μόσχα. Σε μία γωνιά του μνημείου υπάρχει και η εικόνα της Λάικα.

Οι Αριθμοί

Να βρεθούν οι τρεις μικρότεροι διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί που το γινόμενό τους ισούται με το οκταπλάσιο του αθροίσματός τους. (Κατ.34/Νο.656)

Λύση

Οι ζητούμενοι μικρότεροι διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί είναι οι -6, -5, και -4. Έστω οι τρεις διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί της μορφής (ν-1)ν(ν+1)τότε: (ν-1)ν(ν+1)=8(ν-1+ν+ν+1) --> (ν^2-ν)(ν+1)=8*3ν --> ν^3-ν^2+ν^2-ν=24ν -->(ν^3-ν)=24ν ν(ν^2-1)=24ν --> ν(ν^2-1)-24ν=0 --> ν^3-ν-24ν=0 --> ν^3-25ν=0 --> ν(ν^2-25)=0 ν(ν-5)(ν+5)=0 Για [ν=0 ή ν=5 ή ν=-5] οι λύσεις είναι: Για ν=5 οι ζητούμενοι αριθμοί είναι: 4, 5, 6 (ν-1)ν(ν+1)=8(ν-1+ν+ν+1) --> (5-1)5(5+1)=8(5-1+5+5+1) --> 4*5*6=8*15 --> 4*5*6=120 Για ν=-5 οι ζητούμενοι αριθμοί είναι: -6, -5, -4 (ν-1)ν(ν+1)=8(ν-1+ν+ν+1) --> (-5-1)(-5)(-5+1)=8(-5-1+(-5)+(-5)+1) --> (-6)(-5)(-4)=8(-6-5-5+1) --> -120=8(-15) Για ν=0 οι ζητούμενοι αριθμοί είναι: -1, 0, +1 (ν-1)ν(ν+1)=8(ν-1+ν+ν+1) -->(0-1)0(0+1)=8(0-1+0+0+1) --> (-1)0(+1)=8*0 που ισχύει Λύση του Ε. Αλεξίου. Έστω «x» ο μικρότερος από τους τρεις ζητούμενους διαδοχικούς ακέραιους αριθμούς, x+1 ο επόμενος και x+2 ο μεθεπόμενος Ισχύει: X*(X+1)*(X+2)=8*(X+X+1+X+2) 8*(X+X+1+X+2)=8(3X+3)=24(X+1) => X*(X+1)*(X+2)=24(X+1) => X*(X+1)*(X+2)-24(X+1)=0 => (X+1)*[X*(X+2)-24]=0 => (X+1)*(X^2+2X-24)=0 => (X+1)*(X^2+2X+4X-4X-24)=0 => (X+1)*(X^2+6X-4X-24)=0 => (X+1)*(X^2+6X-4X-24)=0 => (X+1)*[X*(X+6)-4(X+6)]=0 => (X+1)*(X+6)*(X-4)=0 => Χ=-1, Χ=-6, Χ=4 Μικρότερος ο Χ=-6 =>Χ+1=-6+1=-5 και Χ+2=-6+2=-4 Συνεπώς οι αριθμοί είναι οι: -6, -5, - 4 Επαλήθευση: (-6)*(-5)*(-4)=-120 8*(-6-5-4)=8*(-15)=-120

Rebus No.134 (9)

Λύση

Βαρκαρόλα [Βαρκα(γονδολα)ρολα(ταινίες χαρτιού σε ρολά)] Η βαρκαρόλα, ή βαρκαρόλλα (από την ιταλική λέξη barca = βάρκα), ή επί το ελληνικότερο λεμβωδία, είναι είδος τραγουδιού ή οργανικής μουσικής, που συσχετίζεται με τη βαρκάδα, ειδικότερα δε αυτήν σε βενετσιάνικη γόνδολα. Από το ρεπερτόριο της κλασικής μουσικής, ξεχωρίζει η βαρκαρόλα από την όπερα "Τα Παραμύθια του Χόφμαν" του Ζακ Όφενμπαχ, καθώς και η "Βαρκαρόλα σε φα δίεση μείζονα", έργο για πιάνο του Φρεντερίκ Σοπέν.

Το Καρπούζι

Κάποιος αγόρασε ένα καρπούζι 10κιλών, γνωρίζοντας ότι αποτελείται κατά  90% από νερό. Το άφησε στον ήλιο για μια βδομάδα και υπολόγισε ότι τώρα αποτελείται κατά 80% από νερό. Πόσο ζυγίζει τώρα το καρπούζι; (Κατ.34/Νο.655)

Πηγή:http://lisari.blogspot.gr/2013/11/blog-post.html

Λύση

Το καρπούζι ζυγίζει 5κιλά. Αρχικά το καρπούζι περιείχε x = 10*90%=900/100=9 κιλά νερό και 1κιλό «σάρκα». Μετά την αφυδάτωση το βάρος του καρπουζιού ήταν ψ κιλά. Άρα το 1κιλό «σάρκα» θα είναι το 20% του ψ, δηλαδή: 1=0,2*ψ --> ψ=1/0,2 --> ψ=5κιλά Το πρόβλημα βασίζεται στην έννοια του σταθερού μεγέθους. Λύση του Ε. Αλεξίου. Αρκετά ενδιαφέρον πρόβλημα. Αφού το 90% είναι νερό, η ουσία του καρπουζιού είναι το 10%, άρα ζυγίζει 0.1*10=ένα κιλό. Όταν μετά από μια εβδομάδα το νερό έγινε 80% του καρπουζιού η ουσία, που δεν εξατμίζεται, αναλογεί στο 20% του καρπουζιού. Άρα: Κατάταξη: Το 20% ζυγίζει 1 κιλό Το 100% ζυγίζει x κιλά; x=(1*100)/20=1*5=5 κιλά