Ο Τοίχος

Θέλουμε να χτίσουμε έναν τοίχο, ορθογωνίου σχήματος, με τούβλα 
διαστάσεων 10cm*20cm. Πόσα τούβλα θα χρειαστούμε για να χτίσου το 
τοίχο, χωρίς να υπάρχει κενό μεταξύ τους; (Κατ.34/Νο.583)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/07/blog-post_8185.html

Διαβάστε περισσότερα »

Το Αποτέλεσμα

Εάν:

a²+b²=208

b²+c²=164

c²+a²=244

Τότε:

a²+b²−c²=?

(Κατ.34/Νο.582)

Πηγή:? 

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. a^2+b^2 =208 (1), b^2+c^2=164 (2), c^2+a^2=244 (3), Προσθέτω κατά μέλη (1)+(2) a^2+2b^2+c^2 = 372 Αφαιρώ την (3) => 2b^2 = 372-244 = 128 => b^2 = 64 Προσθέτω κατά μέλη (1)+(3) 2a^2+b^2 +c^2 = 208+244 = 452 Αφαιρώ την (2) => 2α^2=452-164 = 288 => α^2 = 144 Προσθέτω κατά μέλη (2)+(3) a^2+b^2 +2c^2 = 164+244 = 408 Αφαιρώ την (1) => 2c^2 = 408-208 = 200 => c^2 =100 Άρα a^2+b^2- c^2 = 208-100 = 108 Λύση του Papaveri. Η εξίσωση a^2+b^2−c^2=? ισούται με 108. α^2+β^2 =208 (1), β^2+γ^2=164 (2), γ^2+α^2=244 (3), Προσθέτω κατά μέλη 2α^2+2β^2+2γ^2 = 616 Εξάγουμε κοινό παράγοντα το 2 κι’ έχουμε: 2(α^2+β^2+γ^2)=616 --> α^2+β^2+γ^2=616/2 -->α^2+β^2+γ^2=308 (4) Λύνουμε τη (4) ως προς α^2 κι’ έχουμε: α^2+β^2+γ^2=308 --> α^2=308-(β^2+γ^2) (5) Αντικαθιστούμε τη (2) στη (5) κι’ έχουμε: α^2=308-(β^2+γ^2) --> α^2=308-164 --> α^2=144 (6) Λύνουμε τη (4) ως προς β^2 κι’ έχουμε: α^2+β^2+γ^2=308 --> β^2=308-(α^2+γ^2) (7) Αντικαθιστούμε τη (3) στην (7) κι’ έχουμε: β^2=308-244 --> β^2=64 (8) Λύνουμε τη (4) ως προς γ^2 κι’ έχουμε: α^2+β^2+γ^2=308 --> γ^2=308-(α^2+β^2) (9) Αντικαθιστούμε τη (1) στην (9) κι’ έχουμε: γ^2=308-(α^2+β^2) --> γ^2=308-208 --> γ^2=100 (10) Οπότε η a^2+b^2−c^2 ισούται με: a^2+b^2−c^2=144+64-100=208-100=108 (11) Επαλήθευση: α^2+β^2=208 --> 144+64=208, β^2+γ^2=164 --> 64+100=164, γ^2+α^2=244 --> 100+144=244, Ή α^2+β^2 =208 (1), β^2+γ^2=164 (2), γ^2+α^2=244 (3), Από την (1) συνάγουμε ότι: α^2+β^2 =208 -->α^2=208-β^2 (4) Αντικαθιστούμε τη (4) στη (3) κι’ έχουμε: γ^2+α^2=244 --> γ^2+208-β^2=244 -->γ^2=244-208+β^2 -->γ^2=36+β^2 (5) Αντικαθιστούμε τη (5) στη (2) κι’ έχουμε: β^2+γ^2=164 -->β^2+36+β^2=164 -->2β^2=164-36 --> 2β^2=128 --> β^2=128/2 -->β^2=64 (6) Αντικαθιστούμε την (6) στη (5) κι’ έχουμε: γ^2=36+β^2 --> γ^2=36+64 -->γ^2=100 (7) Αντικαθιστούμε την (6) στη1 (1) κι’ έχουμε: α^2+β^2 =208 --> α^2+64=208 --> α^2=208-64 -->α^2=144 (8) Οπότε η a^2+b^2−c^2 ισούται με: a^2+b^2−c^2=144+64-100=208-100=108 (9) Επαλήθευση: α^2+β^2=208 --> 144+64=208, β^2+γ^2=164 --> 64+100=164, γ^2+α^2=244 --> 100+144=244,

Οι Μπάλες

Σε έναν σάκο υπάρχουν 200 μπάλες. Από αυτές το 90% είναι κόκκινες. Πόσες κόκκινες μπάλες πρέπει να αφαιρέσουμε από το σάκο, ώστε οι κόκκινες μπάλες να αποτελούν το 75% του περιεχομένου του σάκου; (Κατ.34/Νο.581)
Πηγή:?

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Οι κόκκινες μπάλες είναι 0,9*200=180 Αφαιρούμε Χ κόκκινες , συνεπώς (180-Χ) / (200-Χ) = 0,75 =. 180-Χ = 150 -0,75Χ => 0,25Χ = 30 => Χ = 30 / 0,25 = 120 Άρα αφαιρούμε 120 κόκκινες μπάλες. Επαλήθευση: (180 - 120 = 60) / (200 – 120 = 80) = 3/4 = 0,75 = 75%

Η Πιθανότητα

Εάν μια λευκή βασίλισσα και ένας μαύρος βασιλιάς τοποθετηθούν σε τυχαίες θέσεις, σε μία άδεια σκακιέρα, ποια είναι η πιθανότητα ο βασιλιάς να είναι υπό απειλή; (Κατ.33/Νο.24)
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/09/blog-post_3334.html

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Ο δειγματικός χώρος των θέσεων της βασίλισσας για κάθε θέση του βασιλιά είναι 63 τετράγωνα. Υπολογισμός ευνοικών ενδεχόμενων ο βασιλιάς να είναι υπό απειλή. α) Απειλές οριζοντίως - καθέτως Σε όποια θέση και να βρεθεί ο βασιλιάς δέχεται απειλή από 7+7= 14 τετράγωνα Πιθανότητα Πα(υπό απειλή)=14 / 63 β) Λοξές (“διαγώνιες”) απειλές Οι λοξές απειλές δεν είναι σταθερός αριθμός, αλλά εξαρτώνται από την θέση του βασιλιά. Διακρίνω τις παρακάτω περιπτώσεις. β1) Ο βασιλιάς σε περιμετρικό τετράγωνο ή τα 4 γωνιακά, 6*4+4 = 28 τετράγωνα, απειλή από 7 τετράγωνα ανά θέση βασιλιά. Σύνολον απειλών 28*7=196 β2) ο βασιλιάς στα αμέσως παράλληλα τετράγωνα (6+4)*2 = 20 τετράγωνα, απειλή από 9 τετράγωνα. Σύνολον απειλών 20*9 = 180 β3) Ο βασιλιάς στα αμέσως επόμενα παράλληλα (4+2)*2=12 τετράγωνα, απειλή από 11 τετράγωνα. Σύνολον απειλών 12*11 = 132 β4) Ο βασιλιάς στα 4 κεντρικά τετράγωνα, απειλή από 13 τετράγωνα. Σύνολον απειλών 4*13 = 52 Σύνολον λοξών (“διαγώνιων”) απειλών 196+180+132+52 = 560 Μέση “διαγώνια” απειλή = 560/64 = 8,75 Πιθανότητα Πβ(υπό απειλή)=8,75 / 63 Συνολική πιθανότητα Π(υπό απειλή) = 14 / 63 + 8,75 / 63 = 22,75 / 63 = 0,3611(36,11%)

Το Κτήμα

Ένας πατέρας χώρισε το κτήμα του με τις ελιές, που έχει σχήμα τετράγωνο, και το μοίρασε στους γιους του δίνοντας ένα ορθογώνιο στον καθένα. Ο μεγάλος περιέφραξε το μοιράδι του με 330μέτρα συρματόπλεγμα με δεδομένο ότι κάθε ρίζα ελιάς απέχει ακριβώς πέντε μέτρα από τη διπλανή της (και το συρματόπλεγμα).Να υπολογισθούν πόσα δέντρα έχει ο μεγάλος γιος του.(Κατ.34/Νο.580)
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/11/blog-post_2548.html

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Υπάρχει ένα προβληματάκι στην διατύπωση με την απόσταση δένδρων συρματοπλέγματος., 5 μ Στην περίπτωση των 2 παιδιών, προκύπτει το τετράγωνο 110*110 και τα 2 ορθογώνια 110*55 και δένδρα για το συνολικό κτήμα 21*21. Καλά με το τετράγωνο αλλά στο μοίρασμα ποιος θα πάρει την 11 σειρά ?. Θα την ξεριζώσουν? Θα την πάρουν εξ αδιαιρέτου? Είχε προβλέψει ο πατέρας και δεν είχε φυτέψει δένδρα αφήνοντας κενό απόσταση στη μέση 10 μέτρων? Τα ίδια και χειρότερα στην περίπτωση των 10 υιών.. Απίθανο μεν αλλά δεν αποκλείεται, ειδικά σε μουσουλμανικές χώρες. Θεωρώ ότι δεν υπάρχουν σε αυτές τις σειρές δένδρα, αλλά δίνω και λύση με αποστάσεις δένδρα από δένδρα 5 μ και δένδρα από συρματοπλέγματα 2,5 μ, που έτσι γίνεται στην πράξη από τους καλλιεργητές αγρότες διότι τα 5 ή 5,5 ή κάποιες φορές και 6 μ αφήνονται για να τρέφονται και να υδρεύονται , να φωτίζονται και να αναπνέουν επαρκώς τα δένδρα . Με το όριο αφήνεται η μισή απόσταση διότι είτε το γειτονικό χωράφι έχει δένδρα, θα αφήσει και ο άλλος 2,5 μ άρα 5 μ δένδρο-δένδρο, είτε δεν έχει δένδρα και άρα κανένα πρόβλημα.. Α) δένδρο -δένδρο 5μ δένδρο-συρματόπλεγμα 5μ Έστω Χ η πλευρά του τετραγώνου και Ν ο αριθμός των παιδιών, τότε 2Χ + 2Χ / Ν = 330 μ => Χ = 330*Ν / (2Ν+1) έτσι: για Ν=2 Χ=110, 110/2=55 = 0mod5, δεκτό για Ν=3 Χ=123,75 απορρίπτεται για Ν=4 Χ=132 απορρίπτεται για Ν=5 Χ=137,50 απορρίπτεται για Ν=6 Χ=141,43 απορρίπτεται για Ν=7 Χ=144,38 απορρίπτεται για Ν=8 Χ=146,67 απορρίπτεται για Ν=9 Χ=148,50 απορρίπτεται για Ν=10 Χ=150, 150/10 = 15 = 0mod5, δεκτό Διερευνώ και την περίπτωση η μικρή πλευρά του ορθογωνίου να είναι 10 μ αλλά είναι αδύνατον να προκύψει. Συνεπώς 2 περιπτώσεις υιών, αφού το πρόβλημα δεν αναφέρει αριθμό. α) Ν=2 κτήμα 110*55 άρα δένδρα (110/5 -1)*(55/5 -1) = 21*10 =2 10 β) Ν=10 κτήμα 150*15 άρα δένδρα (150/5-1)*(15/5-1)=29*2 = 58 Β) δένδρο -δένδρο 5 μ δένδρο-συρματόπλεγμα 2,5 μ α) Ν=2 κτήμα 110*55 άρα δένδρα (110/5)*(55/5) = 22*11 =242 ( (32/210) δένδρα όφελος στα 6,05 στρ.!) β) Ν=10 κτήμα 150*15 άρα δένδρα (150/5)*(15/5)=30*3 = 90 ( (32/58=55,17% όφελος στα 2,25 στρ. !!)

Τα Ρομπότ

Εάν πέντε ρομπότ μπορούν να κατασκευάσουν πέντε νέα ρομπότ σε πέντε ώρες, πόσες ώρες θα χρειαστούν εκατό ρομπότ να κατασκευάσουν εκατό νέα ρομπότ; (Κατ.34/579)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/07/blog-post_6989.html

Λύση

Λύση του Ν. Λένζου. Πέντε ρομπότ μπορούν να κατασκευάσουν πέντε νέα ρομπότ σε πέντε ώρες Επομένως ένα ρομπότ κατασκευάζει ένα ρομπότ σε πέντε ώρες. Άρα 100 ρομπότ κατασκευάζουν 100 ρομπότ σε πέντε ώρες.

Το Ταξίδι

Βρίσκεστε στην Ιταλία και αναχωρείτε με το αυτοκίνητό σας από την ιστορική πόλη Φλωρεντία με ταχύτητα 120χλμ/ώρα στην κατηφόρα, 80χλμ/ώρα σε ευθεία, και 60χλμ/ώρα στην ανηφόρα, με σκοπό να φτάσετε  στη πόλη Πίζα, για να δείτε τ’ αξιοθέατα,  και να επιστρέψετε την ίδια ημέρα στη Φλωρεντία. Συνολικά κάνετε 6 ώρες για να φτάσετε και 4 ώρες για να επιστρέψετε. Πόσο μακριά είναι οι δύο πόλεις μεταξύ τους; (Κατ.34/Νο.578)

Πηγή:?

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Έστω ότι η ολική απόσταση ανά: κατηφόρα, ευθεία, και ανηφόρα, στο ταξίδι του πηγαιμού προς Πίζα, είναι x, y, και z, αντίστοιχα. Ο χρόνος για να διανυθεί μια απόσταση ,έστω d ,είναι d/v. (v=η ταχύτητα) Έτσι ,για το ταξίδι του πηγαιμού ισχύει: x/120 + y/80 + z/60 = 6 (α) Στο ταξίδι επιστροφής, τα ισιώματα παραμένουν ισιώματα, αλλά οι αρχικές ανηφόρες γίνονται κατηφόρες και αντίστροφα ,άρα έχουμε: x/60 + y/80 + z/120 = 4 (β) Σύστημα 2 εξισώσεων με 3 αγνώστους, αλλά μας ενδιαφέρει το x+y+z που είναι η απόσταση που ψάχνουμε. Πολλ/ζουμε τις (α) και (β) με το Ε.Κ.Π των παρονομαστών 120, 80, και 60, που είναι το 240 και έχουμε: 2x + 3y + 4z = 6 * 240 4x + 3y + 2z = 4 * 240 Προσθέτουμε κατά μέλη: 6(x + y + z) = 10*240 άρα: x + y + z = 400 Λύση του Ε. Αλεξίου. Χ η κατηφόρα Υ η ευθεία και Ζ ανηφόρα Χ/120 +Υ/80 +Ζ/60 =6 ώρες από Φλωρεντία πρός Πίζα. Χ/60 +Υ/80 +Ζ/120 =4 ώρες από Πίζα σε Φλωρεντία. Προσθέτω κατά μέλη (Χ/120+Χ/60)+2Υ/80+(Ζ/60+Ζ/120)=10=>3Χ/120 +3Υ/120 +3Ζ/120=10 => (3Χ+3Υ+3Ζ)/120=10 => 3*(Χ+Υ+Ζ)=1200 => Χ+Υ+Ζ = 400 χιλιόμετρα Συνεπώς απέχουν 400 χιλιόμετρα Αφαιρώ κατά μέλη Χ/120-Χ/60 +Ζ/60-Ζ/120=2 => -Χ/120+Ζ/120=2 => Ζ-Χ=240 40/120 +80/80 +280/60 = 6 ώρες 40/60 +80/80 +280/120 = 4 ώρες Λύση του Papaveri. Η απόσταση μεταξύ των δύο πόλεων είναι 400Km. Έστω ότι η διαδρομή από την πόλη Φλωρεντία προς την πόλη Πίζας έχει «x» χιλιόμετρα ανηφόρα, «y» χιλιόμετρα ευθεία , και «z» χιλιόμετρα κατηφόρα. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος θα έχουμε: x/120+y/80+z/60=6 (1) x/60+y/80+z/120=4 (2) Προσθέτουμε κατά μέλη την (1) και (2) κι’ έχουμε: x/120+x/60=(x +2x)/120=3x/120=x/40 y/80+y/80=2y/80=y/40 z/60+z/120=(2z+z)/120=3z/120=z/40 x/40+y/40+z/40=10 --> x+y+z=10*40 x+y+z=400km = απόσταση των δύο πόλεων.