Οι Εκπτώσεις

Μετά από τρεις διαδοχικές εκπτώσεις, κατά 20% η κάθε μία, ενός προϊόντος, πόσο τοις εκατό θα είναι η  τελική τιμή του προϊόντος σε συνάρτηση με την αρχική και πόσο τοις εκατό η συνολική μείωση; (Κατ.34/Νο.547)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/12/blog-post_7007.html

Λύση

Η τελική τιμή θα είναι 51.20%. 100%*(-20%)=80% 80%*(-20%)=80%-16%=64% 64%*(-20%)=64%-12,80%=51,20% Η συνολική μείωση είναι 48,80%. 20%+20%*80%+20%*(20%*80%)=20%+16%+12,80%=48.80%. Ή 100%-51,20%=48,80%

Usain Bolt

Το σημερινό παγκόσμιο ρεκόρ στο sprint των 100m είναι 9:58s και πραγματοποιήθηκε από τον Τζαμαϊκανό Usain Bolt στις 16 Αυγούστου 2009 στο παγκόσμιο πρωτάθλημα στίβου στο Βερολίνο. Με πόσα χιλιόμετρα έτρεχε την ώρα; (Κατ.34/Νο.546)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/04/100-m.html

Λύση

Έτρεχε με 37,5783χλμ/ώρα. Η μία ώρα έχει 3.600 δευτερόλεπτα, οπότε έχουμε: Κατάταξη: Στα 9,58 δευτερόλεπτα έτρεξε 100μέτρα Στα 3.600 δευτερόλεπτα πόσα x; μέτρα x = 100*3600/9,58=37.578.29μ.--> 37,5783χλμ/ώρα

Ο Κωδικός Αριθμός

Ένας ταξιδιώτης ήθελε να ανοίξει τη βαλίτσα του, αλλά είχε ξεχάσει τον κωδικό αριθμό της κλειδαριάς. Θυμόταν όμως μόνο πέντε στοιχεία. 
Αυτά ήταν: 
Το άθροισμα των πέντε αριθμών, που αποτελούν το κωδικό, είναι  
ίσον με 30. 
Ο πέμπτος και ο τρίτος αριθμός έχουν άθροισμα 14. 
Ο τέταρτος αριθμός είναι κατά μια μονάδα μεγαλύτερος από τον δεύτερο 
αριθμό. 
Ο πρώτος αριθμός είναι κατά μια μονάδα μικρότερος από το διπλάσιο του 
δεύτερου αριθμού. 
Ο δεύτερος και ο τρίτος αριθμός έχουν άθροισμα 10. 
Ποιος είναι ο πενταψήφιος κωδικός αριθμός; (Κατ.34/Νο.545)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/03/blog-post_8090.html

Λύση

Ο πενταψήφιος κωδικός είναι ο 74658. Έστω "αβγδε" ο πενταψήφιος αριθμός που είναι της μορφής 10.000α+1.000β+100γ+10δ+ε. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: α+β+γ+δ+ε=30 (1) ε+γ=14 (2) δ=β+1 (3) α=2β-1 (4) β+γ=10 (5) Από τη (2) συνάγουμε ότι: ε+γ=14 --> ε=14-γ (6) Αντικαθιστούμε τις τιμές των(3),(4),και(6)στην (1) κι' έχουμε: α+β+γ+δ+ε=30 --> 2β-1+β+γ+β+1+14-γ=30 --> 4β=30-14 --> 4β=16 --> β=16/4 --> β=4 (7) Αντικαθιστούμε τη τιμή του "β" στις(3),(4),και (5) κι' έχουμε: δ=β+1 --> δ=4+1 --> δ=5(8) α=2β-1 --> α=[(2*4)-1] --> α=8-1 --> α=7(9) β+γ=10 --> 4+γ=10 --> γ=10-4 --> γ=6 (10) Αντικαθιστούμε τη τιμή του "γ" στην (6) κι' έχουμε: ε=14-γ --> ε=14-6 --> ε=8(11) Επαλήθευση: α+β+γ+δ+ε=30 --> 7+4+6+5+8=30 ο.ε.δ.

Ματ σε Δύο

Παίζουν τα Λευκά και κάνουν μα σε δύο κινήσεις.(Δαμόκλειος Σπάθη)

Λύση

1.Πθ1!(zz),Ρη3 2.Βθ2# 1...,Ρε5 2.Βθ2# 1...,Ρη5 2.Βδ2# 1...,Ρε3 2.Ιδ5# Θέμα: «Star -Flight»

Η Εφημερίδα

Μια εφημερίδα αποτελείται από 8  μεγάλα φύλλα διπλωμένα στη μέση. Η εφημερίδα έχει 32 σελίδες συνολικά. Το πρώτο φύλλο περιέχει τις σελίδες 1, 2, 31, και 32. Παίρνουμε ένα φύλλο που περιέχει τη σελίδα 25. Ποιες είναι οι άλλες σελίδες που περιέχει αυτό το φύλλο; (Κατ.27/Νο.341) 

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/12/blog-post_4152.html

Λύση

Το συγκεκριμένο φύλλο, είναι το τέταρτο φύλλο, και περιέχει τις σελίδες 7,8 και 25,26. Πρώτο φύλλο: Σελίδες 1,2 και 31,32, Δεύτερο φύλλο: Σελίδες 3,4 και 29,30, Τρίτο φύλλο: Σελίδες 5,6 και 27,28, Τέταρτο φύλλο: Σελίδες 7,8 και 25,26, Πέμπτο φύλλο: Σελίδες 9,10 και 23,24, Έκτο φύλλο: Σελίδες 11,12 και 21,22, Έβδομο φύλλο: Σελίδες 13,14 και 19,20, Όγδοο φύλλο: Σελίδες 15,16 και 17,18

Η Διαθήκη

Ένας πατέρας πριν πεθάνει αφήνει 10.000€ στη διαθήκη του, στην οποία υπάρχουν 6 δικαιούχοι - οι τρεις γιοι του με τις συζύγους τους. Οι τρεις γυναίκες λαμβάνουν 3.960€, εκ των οποίων η Μαρία παίρνει 100€ περισσότερο από ότι η Ρεβέκκα, η Χαρούλα παίρνει 100€ περισσότερο από ότι η Μαρία. Από τους γιους του, ο Ιάκωβος παίρνει δύο φορές από όσα παίρνει η σύζυγός του, ο Ραφαήλ παίρνει το ίδιο με τη σύζυγό του και ο Άγγελος παίρνει 50% περισσότερα από τη σύζυγό του. Ποιος είναι παντρεμένος με ποια και πόσο είναι το μερίδιο του καθ’ ενός από τη κληρονομιά;  (Κατ.14/Νο.21)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/03/blog-post_4448.html

Λύση

Έστω Α = Μαρία, Β = Ρεβέκκα, και Γ = Χαρούλα οι σύζυγοι των γιων του και α = Ιάκωβος, β = Ραφαήλ και γ = Άγγελος οι γιοι του. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: Α+Β+Γ=3.960 (1) Α=Β+100 (2) Γ=Α+100 (3) Από την (2) συνάγουμε ότι: Α=Β+100 --> Β=Α-100 (4) Αντικαθιστούμε τη (3) και τη (4) στην (1) κι’ έχουμε: Α+Β+Γ=3.960 --> Α+Α-100+Α+100=3.960 --> 3Α=3960 --> Α=3.960/3 --> Α=1.320 (5) Αντικαθιστούμε τη τιμή του (5) στις (3) και (4) αντιστοίχως κι’ έχουμε: Γ=Α+100 --> Γ=1.320+100 --> Γ=1.420 (6) Β=Α-100 --> Β=1.320-100 --> Β=1.220 (7) Επαλήθευση Συζύγων: Α+Β+Γ=3.960 --> 1.320+1.220+1.420=3.960€ Διερεύνηση: Εφόσον οι νύφες λαμβάνουν και οι τρεις μαζί το ποσό των 3.960€, τα υπόλοιπα 6.040€ τα μοιράζονται οι τρεις γιοι του. Με δοκιμές βρίσκουμε ότι τα μερίδια των γιων του κατανέμονται ως εξής: Ο Ιάκωβος είναι παντρεμένος με την Χαρούλα (α+Γ) και το μερίδιό του είναι: 1.420€*2=2.840€ (α=2*Γ) Ο Ραφαήλ είναι παντρεμένος με την Ρεβέκκα (β+Β) και το μερίδιό του είναι: 1.220€ όσα παίρνει και η σύζυγός του.(β=Β) Ο Άγγελος είναι παντρεμένος με την Μαρία (γ+Α) και το μερίδιό του είναι: 1.320€+(1.320€*50%)=1.320+660€=1.980€ (γ=Α+50%Α) Επαλήθευση Γιων: α+β+γ=6.040 --> 2.840+1.220+1.980=6.040€ ο.ε.δ. Επαλήθευση Ζευγαριών: (α+Γ)+(β+Β)+(γ+Α)=10.000 --> (2.840+1.420)+(1.220+1.220)+(1.980+1.320)=10.000 --> 4.260+2.440+3.300=10.000

Στο Τσίρκο

Μια παράσταση τσίρκου την παρακολούθησαν 120 άτομα, που πλήρωσαν συνολικά 120 ευρώ. Για τους άνδρες το εισιτήριο 5 ευρώ, για τις γυναίκες πληρώνουν 2 ευρώ και για τα παιδιά 10 λεπτά. Πόσοι άνδρες, πόσες γυναίκες και πόσα παιδιά παρακολούθησαν την παράσταση;

(Κατ.34/Νο.544)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/03/blog-post_2203.html

Λύση

Τη παράσταση παρακολούθησαν 17 άνδρες, 13 γυναίκες και 90 παιδιά. Έστω «α» οι άνδρες, «β» οι γυναίκες και «γ» τα παιδιά. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: α+β+γ = 120 (1) 5α+2β+0,10γ = 120 (2) Λύνουμε την (1) ως προς "β" κι’ έχουμε: α+β+γ=120 --> β=[120-(α+γ)](3) Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε: 5α+2β+0,10γ = 120 --> [5α+2[120-(α+γ)] +0,10γ]= 120 --> 5α +240-2α-2γ+0,10γ = 120 --> 3α-1,90γ = 120-240 --> 3α-1,90γ = -120 --> 3α +120= 1,90γ --> γ=(3α+120)/1,90 (4) Διερεύνηση: Η τιμή του "α" πρέπει να είναι ένας αριθμός θετικός και ακέραιος, συνεπώς δίδοντας στο "α" τις τιμές από το 1 έως το 20 βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη του προβλήματος είναι α = 17 . Αντικαθιστούμε τη τιμή του "α" στη (4) κι’ έχουμε: γ=(3α+120)/1,90 --> γ = [(3*17)+120]/1,90 --> γ = (51+120)/1,90 --> γ=171/1,90 --> γ = 90 (5) Αντικαθιστούμε τις τιμές του "γ" και «α» στη (3) κι’ έχουμε: β=[120-(α+γ)]-->β =[120-(17+90)] --> β =120-107 --> β=13 Επαλήθευση: α+β+ω = 120 --> 17+13+90 = 120 5α+2β+0,10γ = 120 --> 5*17+2*13+0,10*90 = 120 --> 85+26+9 = 120 ο.ε.δ.