Τα Ευτράπελα της Αριθμητικής

Τρεις φίλοι, ο Ανδρέας, ο Γιώργος και ο Γιάννης χρωστούν ο ένας στον άλλον από ένα δεκάρικο. Ο Ανδρέας χρωστάει στο Γιώργο, ο Γιώργος χρωστάει στο Γιάννη και ο Γιάννης χρωστάει στον Ανδρέα. Το δε συνολικό χρέος ανέρχεται στις 30 δρχ. Μία ημέρα, όμως, που ο Γιώργος είχε μόνο 5 δρχ. και οι άλλοι ήταν αδέκαροι, κατόρθωσαν να εξοφλήσουν τα χρέη τους. Μπορείτε να βρείτε πως τα κατάφεραν; (Κατ.34/Πρβ. Νο.21)

Λύση

Οι 5 δρχ. έκαναν δύο φορές το γύρο μεταξύ των φίλων:
α΄ γύρος) Γιώργος --> Γιάννης --> Ανδρέας --> Γιώργος.
β΄ γύρος) Γιώργος --> Γιάννης --> Ανδρέας --> Γιώργος.
και οι 5 δρχ. καταλήγουν στη τσέπη του Γιώργου εξοφλώντας με αυτό τον
τρόπο το χρέος τους ο καθ’ ένας.

Σύστημα Νοκ - Άουτ!

 

Σε μία προσπάθεια διάδοσης του σκακιού στα σχολεία, οι μαθητές των δύο τελευταίων τάξεων όλων των δημοτικών σχολείων μιας εκπαιδευτικής περιφέρειας μυήθηκαν ομαδικά σ’ αυτό το ευγενικό πνευματικό άθλημα. Στο τέλος της σχολικής χρονιάς, 206 από αυτούς τους μαθητές έλαβαν μέρος σ’ ένα πρωτάθλημα με το σύστημα Νοκ - Άουτ, δηλαδή σε κάθε γύρο οι ηττημένοι αποκλείονται από τους επόμενους γύρους. Κληρώθηκαν 103 ζευγάρια αντιπάλων για το πρώτο γύρο. Οι 103 ηττημένοι του γύρου αυτού αποκλείστηκαν από τους επόμενους γύρους. Από τους 103 νικητές κληρώθηκαν 51 ζευγάρια αντιπάλων για το δεύτερο γύρο. Περίσσεψε όμως ένας μαθητής που έμεινε χωρίς αντίπαλο, αφού ο αριθμός των μαθητών ήταν μονός κι αυτός ο τυχερός προωθήθηκε για το τρίτο γύρο (Bye) έχοντας αποκομίσει ένα βαθμό άνευ αγώνος. Με τον ίδιο τρόπο με αποκλεισμό των ηττημένων κάθε γύρου και με τη προώθηση ενός μαθητή χωρίς αγώνα για τον επόμενο γύρο, όταν ο αριθμός των νικητών ήταν μονός, έγιναν οι κληρώσεις για τους επόμενους γύρους. Ο τελευταίος γύρος αποτελείτο από ένα ζευγάρι, όπου παίχτηκε μία παρτίδα μόνο, τη τελική που ανέδειξε τον πρωταθλητή. Πόσες παρτίδες παίχτηκαν συνολικά; (Κατ.34/Πρβ. Νο.23)

Διευκρίνηση:

Bye =Έχουμε όταν ένας παίκτης, που δεν παίζει σ’ ένα γύρο λόγω 
           του ότι ο αριθμός των ζευγαριών είναι μονός αριθμός, 
           προκρίνεται στον επόμενο γύρο ενός τουρνουά.
Λύση: 

 

Οι Επτά Γέφυρες του Königsberg

Χάρτης του Königsberg, την εποχή του Euler, όπου δείχνει την πραγματική διάταξη των επτά γεφυρών, τονίζοντας με χρώμα το ποτάμι Pregel και τις γέφυρες

Κατά τη διάρκεια του 18ου αιώνα, όταν το Königsberg ήταν μέρος της μεγάλης αυτοκρατορικής Ρωσίας, υπήρχαν 7 γέφυρες που διέσχιζαν τον ποταμό Pregel. Είχε γίνει μέρος του απογευματινού Κυριακάτικου περιπάτου των κατοίκων, η άσκηση, να δουν αν μπορούν να περάσουν όλες τις γέφυρες του ποταμού διασχίζοντας κάθε μία μόνο μία φορά. Όσο όμως και να προσπαθούσαν, πάντα υπήρχε μία γέφυρα που δεν μπορούσαν να προσεγγίσουν. Ήταν όντως αδύνατο ή απλά δεν είχαν βρει τον τρόπο που θα τους επέτρεπε να τις διασχίσουν όλες;

Δεν ήταν μέχρι την άφιξη ενός Ελβετού μαθηματικού ονομαζόμενου Leonhard Euler – ο οποίος εφάρμοσε μία μαθηματική προσέγγιση στο πρόβλημα – που επιβεβαιώθηκε ότι το πρόβλημα ήταν αδύνατο να λυθεί: δεν υπήρχε δηλαδή τρόπος να διασχίσει κάποιος και τις 7 γέφυρες περνώντας κάθε μία μόνο μία φορά. Ο Euler γεννήθηκε το 1707 στην Βασιλεία, όπου και το μαθηματικό ταλέντο του ανιχνεύτηκε από τους Bernoulli’s, μία πολύ σημαντική μαθηματική οικογένεια. Ο Euler πέρασε μεγάλο μέρος της μαθηματικής του ζωής στην ακαδημία της Αγίας Πετρούπολης και εκεί άκουσε για πρώτη φορά  για το περίεργο πρόβλημα των 7 γεφυρών του Königsberg. Το σημαντικό εννοιολογικό άλμα που πραγματοποίησε ο Euler, ήταν να συνειδητοποιήσει ότι οι πραγματικές διαστάσεις της πόλης δεν είχαν καμία σχέση με το πρόβλημα. Το πιο σημαντικό στοιχείο ήταν, το πώς συνδέονταν οι γέφυρες μεταξύ τους. Η ίδια αρχή διέπει για παράδειγμα και τον χάρτη του υπογείου του Λονδίνου: δεν είναι ένας ακριβής πραγματολογικά και φυσικά χάρτης, απλά περιέχει πληροφορίες για το πώς είναι συνδεδεμένοι οι σταθμοί. Όταν ο Euler σχεδίασε και ανέλυσε τον χάρτη του Königsberg με αυτό το τρόπο, συνειδητοποίησε ότι οι 4 περιοχές γης που συνδέονταν από τις γέφυρες, μπορούσαν να αντικατασταθούν από σημεία, ενώ οι γέφυρες από γραμμές που ένωναν τα σημεία. Το πρόβλημα λοιπόν του μοναδικού περιπάτου πάνω από όλες τις γέφυρες (και της μοναδικής λύσης στο πρόβλημα), ισοδυναμούσε με ένα πρόβλημα σχεδίασης στο χαρτί, μιας τελικής εικόνας-σχεδιαγράμματος, χωρίς να σηκωθεί το μολύβι από το χαρτί, αλλά και χωρίς να ζωγραφιστεί η ίδια γραμμή δύο φορές.

Η καινοτομία του Euler. Γραμμές και σημεία.

ΤΟ ΤΕΛΟΣ ΤΟΥ ΔΡΟΜΟΥ
Γιατί ήταν λοιπόν αδύνατο? O Euler συνειδητοποίησε ότι σε ένα γράφημα που το μονοπάτι θα ήταν εφικτό, κάθε σημείο που θα επισκεπτόταν το μολύβι θα έπρεπε να είχε μία γραμμή να καταλήγει και μία να ξεκινάει από αυτό. Εάν επισκεπτόσουν αυτό το σημείο ξανά, θα έπρεπε να υπάρχει μία καινούργια γέφυρα προς αυτό και από αυτό. Έτσι θα έπρεπε να υπάρχουν μόνο ζυγοί αριθμοί γεφυρών που να ακουμπούν κάθε σημείο. Οι μόνες εξαιρέσεις αυτού κανόνα είναι η αρχή και το τέλος του μονοπατιού. Το σημείο εκκίνησης έχει μόνο μία γραμμή που ξεκινάει από αυτό και το σημείο τερματισμού μία γραμμή που καταλήγει σε αυτό. Έτσι για να είναι ένα μονοπάτι εφικτό, όχι παραπάνω από δύο σημεία – η αρχή και το τέλος – πρέπει να έχουν μονό αριθμό γραμμών. Αν όμως δούμε την κάτοψη των 7 γεφυρών του Königsberg, κάθε σημείο έχει μονό αριθμό γεφυρών που ξεπηδούν από αυτό. Για αυτό και το εν λόγω ταξίδι ήταν αδύνατο να πραγματοποιηθεί.
Είναι ενδιαφέρον να δούμε σήμερα πόσες από τις γέφυρες εκείνες είναι ακόμα εκεί. Σαν ένα σημαντικό σημείο της Βαλτικής, η πόλη του Königsberg, ήταν ένα στρατηγικό σημείο για το Γερμανικό στόλο κατά τη διάρκεια του 2ου παγκοσμίου πολέμου και για αυτό και υπέφερε από πολύ ισχυρούς βομβαρδισμούς από τους συμμάχους. Μεγάλο μέρος του ιστορικού ιστού της πόλης ισοπεδώθηκε, συμπεριλαμβανομένου και του ξακουστού πανεπιστημίου στο νησί στην καρδιά της πόλης όπου ο Kant και ο Hilbert ανδρώθηκαν ακαδημαϊκά. Οι γέφυρες όμως;
Τρεις από τις προπολεμικές γέφυρες είναι ακόμα εκεί: η «ξύλινη» γέφυρα (Holzbrücke), η «μελί» γέφυρα (Honigbrücke) και η «ψηλή» γέφυρα High (Hohebrücke). Δύο γέφυρες έχουν εξαφανιστεί εντελώς: η γέφυρα «σφαγίων» (Köttelbrücke) και η γέφυρα του «σιδερά» (Schmiedebrücke). Οι υπόλοιπες γέφυρες – η πράσινη γέφυρα (Grünebrücke) και η γέφυρα του «έμπορου» (Krämerbrücke) – είχαν ξαναχτιστεί μετά τον πόλεμο για να σηκώσουν μεγάλο μεταφορικό μέρος μέσα στην πόλη.
Η μαθηματική ανάλυση του Euler έδειξε ότι αν υπήρχαν ακριβώς δύο σημεία με ζυγό αριθμό γεφυρών, τότε ένα μονοπάτι θα ήταν σίγουρα εφικτό: ξεκινάς από ένα με ζυγό αριθμό και καταλήγεις στο άλλο.
Η ιστορία των γεφυρών του Königsberg είναι σαν ένα παραμύθι που όλοι οι μαθηματικοί, μηχανικοί και αρχιτέκτονες πρέπει να ακούσουν κάποια στιγμή. Είναι σημαντικό γιατί γέννησε ένα νέο τρόπο προσέγγισης του χώρου και της γεωμετρίας. Αντί να ενδιαφερόμαστε για τις διαστάσεις, τις αποστάσεις και τις γωνίες μεταξύ γεωμετρικών οντοτήτων, αυτή η νέα προοπτική εστίαζε στο πως είναι συνδεδεμένες αυτές οι οντότητες. Αυτή ήταν και η αρχή της τοπολογίας, ενός από τα πιο ισχυρά παρακλάδια της μαθηματικής επιστήμης που μελετήθηκε τον τελευταίο αιώνα.
Αυτή η εξέλιξη οδήγησε ένα άφαντο μαθηματικό, κρυμμένο σε ένα σπίτι στην άκρη της Αγίας Πετρούπολης, να λύσει ένα από τα μεγαλύτερα αινίγματα της μαθηματικής τοπολογίας, την «εικασία του Poincare» . 
Άρθρο του: Του Σίμου Γερασιμίδη

Ο Πυθαγόρας και ο Υπηρέτης του

Μία ημέρα ο Πυθαγόρας, και εδώ για να τιμωρήσει τον υπηρέτη του 
Θύρσο για απείθεια, τον έστειλε σ΄ ένα ναό του Δία, που είχε επτά 
κολόνες στη πρόσοψη και του είπε:
- "Να βηματίζεις από αριστερά προς τα δεξιά και από τα δεξιά προς 
   τ’ αριστερά εμπρός από τις κολόνες και να τις μετράς μία-μία και 
   όταν φθάσεις στον αριθμό χίλια, να έρθεις να μου πεις ποια κολόνα
   είναι η χιλιοστή."
Επαναλαμβάνουμε, το μέτρημα πρέπει να γίνει ως εξής: 
Από τ’ αριστερά προς τα δεξιά, 1,2,3,4,5,6,7, από τα δεξιά προς τ’ 
αριστερά, 7,8,9,10,11,12, 13, από τ’ αριστερά προς τα δεξιά, 13,14,15,
16,17,18,19, και ούτω καθ’ εξής.
Τελικά ο Θύρσος τα κατάφερε να βρει τη χιλιοστή κολόνα. Εσείς 
μπορείτε να τη βρείτε γρηγορότερα, χωρίς να ταλαιπωρηθείτε σαν 
το Θύρσο; (Κατ.34/Πρβ. Νο.24)
Αυτό το πρόβλημα αποδίδεται στον μαθηματικό και αστρονόμο 
Πυθαγόρα το Σάμιο (586-500 π. Χ.).

Λύση

Μετρώντας από τ’ αριστερά προς τα δεξιά, υπολογίζοντας μία φορά την
έβδομη κολόνα, φτάνουμε στον αριθμό 12. Διαιρώντας το 1.000 με το 12
βρίσκουμε πηλίκο 83 και υπόλοιπο 4. Αυτό σημαίνει πως ο υπηρέτης
έκανε τη διαδρομή του πήγαινε – έλα 83 φορές και του έμειναν για
να μετρήσει άλλες 4 κολόνες. Πράγματι, 83x12=996+4=1.000. Άρα η
χιλιοστή κολόνα είναι η τέταρτη μετρώντας από αριστερά ή από δεξιά.
Είναι η κολόνα η μαρκαρισμένη με το κόκκινο αστεράκι στο ανωτέρω σχήμα.

Η Οικογένεια Γεωργίου Ζυγίζεται

 

Η οικογένεια Γεωργίου αποτελούμενη από τον πατέρα, τη μητέρα, το 

γιο και τη κόρη αποφάσισαν μία μέρα να πάνε να ζυγιστούνε. Βρήκαν 

μία ζυγαριά η οποία ζύγιζε μέχρι 100 κιλά. Ζυγίζονται ο πατέρας με το

γιο και το συνολικό βάρος τους ήταν 90 κιλά. Ζυγίζονται η μητέρα με 

τη κόρη και το συνολικό βάρος τους ήταν 81 κιλά. Γνωρίζοντας πως ο 

πατέρας έχει το διπλάσιο βάρος από τη κόρη και η μητέρα το διπλάσιο 

βάρος από το γιο, μπορείτε να βρείτε πόσο ζυγίζει ο καθ’ ένας;

(Κατ.34/Πρβ. Νο.25)

Λύση:

 

Η Χωρητικότητα

Δύο βαρέλια διαφορετικών διαστάσεων περιέχουν και τα δύο μαζί 

συνολικά 19 κιλά κρασί. Ρίχνοντας τρεις φορές το περιεχόμενο 

του μικρού (Β) στο μεγάλο (Α), δεν μπορεί να το γεμίσει γιατί 

λείπει ένα κιλό ακόμη. Ποια είναι η χωρητικότητα του κάθε

βαρελιού σε κιλά; (Κατ.34/Πρβ. Νο.26)

Λύση:

Πρωτομαγια 2011

 ΧΡΙΣΤΟΣ ΑΝΕΣΤΗ!

Εύχομαι σ' όλους Καλό Μήνα!