Τα Στρατιωτάκια

Ο Ανδρέας και ο Λουκάς έχουν και οι δύο μαζί 376 στρατιωτάκια.

Εάν διαιρέσουμε τον αριθμό των στρατιωτών του Ανδρέα με τον
αριθμό των στρατιωτών του Λουκά βρίσκουμε πηλίκο 11 και ένα
υπόλοιπο που είναι το μεγαλύτερο δυνατόν. Πόσα στρατιωτάκια
έχει ο καθ’ ένας; (Κατ.34/Πρβ. Νο.34)

Λύση

Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως έχουμε:
α + β =376(1)
Βάσει του τύπου Δ=(δ * π) + υ της διαιρέσεως έχουμε:
α =(β*11)+(β-1)(2)
Αντικαθιστούμε τη (2) στην (1) κι’ έχουμε:
α + β =376 --> (β*11)+(β-1)+β=376 --> 11β+β-1+β=376 --> 13β=376+1 -->
13β=377 --> β=377/13 --> β=29
Αντικαθιστούμε τη τιμή του "β" στην (1) κι’ έχουμε:
α + β =376 --> α+29=376 --> α=376-29 --> α=347
Άρα, ο Ανδρέας έχει 347 στρατιωτάκια και ο Λουκάς 29 στρατιωτάκια.
Επαλήθευση:
α + β =376 --> 347+29=376
α =(β*11)+(β-1)--> 347=(29*11)+(29-1)--> 347=319+28--> 347=347 ο.ε.δ.
Ή
Επειδή το υπόλοιπο από τη διαίρεση του αριθμού "α" με τον αριθμό
"β" είναι το μέγιστο δυνατόν, πρέπει να είναι ίσο με το διαιρέτη
πλην ένα, δηλαδή υ = β-1.
Αν λοιπόν τα στρατιωτάκια ήσαν 377, ο αριθμός "α" θα διαιρούταν
από τον αριθμό "β" και το πηλίκο θα ήταν 12. Πρέπει λοιπόν να
βρεθούν δύο αριθμοί, που ο πρώτος να περιέχει 12 φορές το δεύτερο
αριθμό, δηλαδή α=12*β και το άθροισμά τους να ισούται με 377.
Επομένως:
α+β=377 (1)
α/β=12 (2)
Από τη (2) συνάγουμε ότι:
α/β=12 --> α=12*β (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι’ έχουμε:
α+β=377 --> 12β+β=377 --> 13β=377 --> β=377/13 --> β=29
Αντικαθιστούμε τη τιμή του "β" στην (1) κι’ έχουμε:
α+β=377 --> α+29=377 --> α=377-29 --> α=348
Επαλήθευση:
α+β=377 --> 348+29=377
α/β=12 --> 348/29=12   ο.ε.δ.

Η Κατανομή των Εξόδων

Δύο φίλοι κηπουροί αποφασίζουν να σκάψουν τους κήπους τους από 

κοινού. Του ενός ο κήπος έχει επιφάνεια 8 στρεμμάτων (8.000 μ²) και 

του άλλου έχει επιφάνεια 6 στρεμμάτων (6.000 μ²). Επειδή και οι δύο 

κήποι ήταν μεγάλοι σε επιφάνεια αποφασίζουν να προσλάβουν έναν 

εργάτη και η όλη εργασία πραγματοποιείται από τους τρεις άνδρες, 

που δουλεύουν εξ ίσου. Όταν τέλειωσε η εργασία, ο εργάτης ζήτησε 

210 δρχ. για το ημερομίσθιο του. Πόσα δραχμές πρέπει να πληρώσει 

ο κάθε κηπουρός στον εργάτη; (Κατ.34/Πρβ. Νο.35)

Λύση

Ο κάθε κηπουρός, ανάλογα με την επιφάνεια του κήπου που κατέχει,
πρέπει να πληρώσει 150 δρχ. και 60 δρχ. αντίστοιχα. Κατ’ αρχήν
πρέπει να βρούμε πόσο στοιχίζει η εργασία για το ένα στρέμμα.
Εφ’ όσον η συνολική αξία της εργασίας είναι:
3*210=630 δρχ. η αξία του ενός στρέμματος είναι:630/14=45 δρχ.
Από αυτό προκύπτει ότι η συνολική αξία της εργασίας για τα 8
στρέμματα είναι: 45*8=360 δρχ. και η συνολική αξία της εργασίας
για τα 6 στρέμματα είναι:45*6=270 δρχ. Άρα ο πρώτος κηπουρός
πρέπει να πληρώσει στον εργάτη 360-210=150 δρχ. και ο δεύτερος
κηπουρός πρέπει να πληρώσει στον εργάτη 270-210=60 δρχ.
Επαλήθευση:
150δρχ.+60δρχ=210δρχ.   ο.ε.δ.

Η Διαδρομή

Σ’ ένα ισόπλευρο τρίγωνο, του οποίου η κάθε πλευρά αντιστοιχεί 
σε 200 μέτρα, ένα  μυρμήγκι (τερμίτης) θα διανύσει την περίμετρο
του ξεκινώντας από το σημείο «Α» με κατεύθυνση το «Β» και 
ακολούθως το «Γ» τερματίζοντας στο «Α». 

Έχουμε τα κατωτέρω δεδομένα, τα οποία είναι αδιαμφισβήτητα:

1.      Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, άρα όλες οι πλευρές του είναι ίσες.

2.      Το μυρμήγκι τρέχει με την ίδια σταθερή ταχύτητα.  

3.      Διαθέτουμε ένα χρονόμετρο ακριβείας για την χρονομέτρηση

των επί μέρους διαδρομών, από το (Α στο Β), από το (Β στο Γ)

και από το (Γ στο Α).

4.   Ο δείκτης ολισθηρότητας είναι  >1. 

Παρ’ όλα αυτά διαπιστώνουμε το εξής παράδοξο φαινόμενο. 
Βλέπε κατωτέρω εικόνα:

• Για να διανύσει την απόσταση από το σημείο «Α» έως το «Β» κάνει 1 ώρα και 20 λεπτά.

• Για να διανύσει την απόσταση από το σημείο «Β» έως το «Γ» κάνει τον ίδιο χρόνο, 1 ώρα και 20 λεπτά.

• Για να διανύσει όμως την απόσταση από το σημείο «Γ» έως το «Α» κάνει μόνο 80 λεπτά, ενώ θα έπρεπε να κάνει τον ίδιο χρόνο, 1 ώρα και 20 λεπτά, αφού έχει να   διανύσει ίσες αποστάσεις, τρέχει με την ίδια σταθερή ταχύτητα και το χρονόμετρο είναι ακριβείας.  Γιατί στην τρίτη πλευρά κάνει λιγότερο χρόνο;

Που οφείλεται το γεγονός ότι στην τρίτη πλευρά δαπάνησε 
λιγότερο χρόνο; (Κατ.27/Πρβ. Νο.216)

Πηγή: 
Το ανωτέρω πρόβλημα τείθεται στην ιστοσελίδα της εταιρείας

CleverMarket, ως διαγώνισμα με  διάφορα έπαθλα

Λύση

Το μυρμήγκι δεν δαπάνησε λιγότερο χρόνο για να διασχίσει την πλευρά
του τριγώνου «ΓΑ», αλλά τον ίδιο χρόνο, 1 ώρα και 20΄ λεπτά. Εφόσον
η 1 ώρα έχει 60΄ λεπτά και 20΄ λεπτά επί πλέον ίσον 80΄ λεπτά!!!
Δηλαδή: 80΄ λεπτά = 60΄+20΄ = 1 ώρα και 20΄ λεπτά. ο.ε.δ.

Τα Έντομα

 

Δύο έντομα, τα οποία απέχουν 15μ.το ένα από το άλλο, προχωρούν το

ένα προς τη κατεύθυνση του άλλου.Το έντομο "Α" στα πρώτα 30΄

λεπτά προχωρεί 3μ. και στα υπόλοιπα 30΄λεπτά οπισθοχωρεί 0,50μ.,

δηλαδή σε μία ώρα προχωρεί 2,50μ. Το έντομο "Β" στα πρώτα 30΄

λεπτά προχωρεί 2μ. και στα υπόλοιπα 30΄λεπτά οπισθοχωρεί 1/3 του

μέτρου, δηλαδή σε μία ώρα προχωρεί 1,67μ. Μετά από  πόσο χρόνο τα
δύο έντομα θα συναντηθούν; (Κατ.34/Πρβ. Νο.32)

Λύση:   

Ο Ταμίας

Ο κ. Αντωνίου, ο οποίος είναι ταμίας σε μία τράπεζα, έβαλε στην άκρη 

δύο δεσμίδες που περιείχαν 480 χαρτονομίσματα των 5.000 δρχ. και

των 10.000 δρχ. Με δεδομένο ότι τα χαρτονομίσματα των 10.000 

δρχ. είναι 60 λιγότερα των 5.000 δρχ., μπορείτε να βρείτε το 

συνολικό ποσό των χρημάτων; (Κατ.34/Πρβ. Νο.27)

Λύση

Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως έχουμε:
α+β=480 (1)
β=α-60 (2)
Αντικαθιστούμε τη (2) στην (1) κι’ έχουμε:
α+β=480 --> α+α-60=480 --> 2α=480+60 --> 2α=540 --> α=540/2 --> α=270
Αντικαθιστούμε τι τιμή του "α" στη (2) κι’ έχουμε:
β=α-60 --> β=270-60 --> β=210
Επαλήθευση:
α+β=480 --> 270+210=480
[(270*5.000)+(210*10.000)]=1.350.000+2.100.000=3.450.000δρχ. ο.ε.δ.

Το Ινδικό Καλάμι (Μπαμπού)

Ένα καλάμι στέκεται όρθιο σ’ ένα τοίχο, ενώ στηρίζεται με το κάτω 

άκρο στο έδαφος, βλέπε ανωτέρω στο σχήμα. Σε κάποιο σημείο έσπασε

(Γ) και το άνω άκρο λύγισε μέχρι το έδαφος, σε απόσταση 9μ. από τη 

βάση του, οπότε αυτό μικραίνει κατά 3μ. Να υπολογισθούν τα εξής 

μεγέθη: α) Το ύψος του καλαμιού (AΓ) και β) Το ύψος του τοίχου (ΑΔ).
(Κατ.34/Πρβ. Νο.265) 

Πηγή: 
Το ανωτέρω πρόβλημα, το οποίο εκδόθηκε από τον Tsin – Kin – Tschaou το 

1250 π.Χ. και βρέθηκε στην υπ’ αριθμό ΒΜ34568 πινακίδα στις ανασκαφές

της πόλεως Νινευή της Βαβυλώνας, προέρχεται από το Κινέζικο μαθηματικό

σύγγραμμα του 2600 π.Χ. K’iu – Ch’ang Suan – Shu – ts’au – t’u  (Αριθμητική 

σ’ εννέα ενότητες). Χρονολογείται, στη περίοδο της δυναστείας Hun (Χαν), 

[206 π.Χ.- 220 μ.Χ], αναθεωρημένη επανέκδοση, κατά το 3^ο με 2^ο αιώνα π.Χ. 

Περιέχει μια συλλογή 246 προβλημάτων (γεωμετρικών, τοπογραφικών, 

οικονομικών, αλγεβρικών, αριθμητικών και λογιστικών.Η 9^η ενότητα

αναφέρεται στα ορθογώνια τρίγωνα).

Λύση

Έστω (ΑΔ) ο τοίχος, (ΑΓ) το καλάμι και (ΓΔ) = α μέτρα η αρχική θέση
του καλαμιού. Μετά το σπάσιμο και το λύγισμά του η νέα θέση του
καλαμιού σχηματίζει τη γωνία (ΑΓΒ) και (ΑΒ) = 9μ. η απόσταση της
βάσεως με τη νέα θέση της κορυφής του καλαμιού μετά το λύγισμα. Το
τρίγωνο (ΑΒΓ), που σχηματίζεται, είναι ορθογώνιο με :
(ΑΓ)=(ΑΔ)–(ΓΔ)=(α–3)μ.,(ΓΔ)=3μ.,(ΑΒ)=9μ. Εξ’ άλλου είναι προφανές
ότι το (ΒΓ)=(ΑΓ)+(ΓΔ)=(α-3)+3=α–3+3=α μέτρα. Βάσει του Πυθαγορείου
Θεωρήματος έχουμε:
(ΑΓ)^2+(ΑΒ)^2=(ΒΓ)^2-->(α-3)^2+(9)^2=(α)^2--> α^2–6α+9+81=α^2-->
6α= α^2–α^2+90 --> 6α=90 --> α =90/6 --> α=15 .
Άρα το ύψος του τοίχου είναι:
(ΑΔ)=15μ.,και το ύψος του καλαμιού είναι:(ΑΓ)=(ΑΔ)–(ΓΔ)=15–3=12μ.-->
(ΑΓ)=12μ. ο.ε.δ.
Το πρόβλημα αυτό παρουσιάζει όχι μόνο πρακτικό ενδιαφέρον, αλλά και
θεωρητικό(Αριθμοθεωρητικό), γιατί στο ορθογώνιο τρίγωνο εμφανίζεται η
Πυθαγόρεια Τριάδα α = 12, β = 9 και γ = 15. Από αυτό συνάγουμε το
συμπέρασμα (;), ότι οι Κινέζοι γνώριζαν το Πυθαγόρειο Θεώρημα και τις
Πυθαγόρειες Τριάδες πριν το Πυθαγόρα.

Το Ινδικό Καλάμι (Μπαμπού) και η Λίμνη

Σε μια κυκλικής λίμνη, με διάμετρο ΟΒ = 10μ., φυτρώνει ένα καλάμι 
που εξέχει από το νερό στο σημείο "Ν" 1μ. Όταν το καλάμι λυγίσει,
στο σημείο "Ν", τότε η κορυφή του εφάπτεται με τη περίμετρο της 
λίμνης (όχθη). Να υπολογισθούν τα εξής μεγέθη:

α) Το βάθος της λίμνης (ΝΚ) και β) Το ύψος του καλαμιού (ΑΚ).

(Κατ.34/Πρβ. Νο.264)

Πηγή: 

Το ανωτέρω πρόβλημα, το οποίο εκδόθηκε από τον Tsin – Kin – Tschaou το 

1250 π.Χ., προέρχεται από το Κινέζικο μαθηματικό σύγγραμμα του 2600 π.Χ.  

K’iu - Ch’ang Suan –  Shu – ts’au – t’u (Αριθμητική σ’ εννέα ενότητες). 

Χρονολογείται, στη περίοδο της δυναστείας Hun (Χαν), 206 π.Χ.- 220 μ.Χ., 

αναθεωρημένη επανέκδοση, κατά το 3^ο με 2^ο αιώνα π.Χ. Περιέχει μια

συλλογή 246 προβλημάτων (γεωμετρικών, τοπογραφικών,οικονομικών, 

αλγεβρικών, αριθμητικών και λογιστικών. Η 9^η ενότητα αναφέρεται στο 

ορθογώνια τρίγωνα).

Λύση

Έστω ΑΚ το ύψος του καλαμιού, ΑΒ η θέση της κορυφής όταν λυγίσει το
καλάμι, (ΟΒ)=10μ. η νοητή διάμετρος της λίμνης με Ν το σημείο όπου
εξέχει το καλάμι από τη λίμνη,(ΝΑ) =1μ. το τμήμα που εξέχει από την
επιφάνεια της λίμνης και(ΝΚ)=α μέτρα το βάθος της λίμνης. Το τρίγωνο
(ΑΚΒ) είναι ισοσκελές με(ΑΚ)=(ΚΒ)=(α+1)μ. Το δε τρίγωνο ΝΚΒ είναι
ορθογώνιο με (ΝΚ) = α μέτρα,(ΝΒ)=5μ. και(ΚΒ)=(α+1)μ. Βλέπε εικόνα
ανωτέρω. Βάσει του τύπου Πυθαγορείου Θεωρήματος έχουμε:
(ΝΚ)^2+(ΝΒ)^2=(ΚΒ)^2 --> α^2+5^2=(α + 1)^2 --> α^2+25=α^2+2α+1 -->
2α = α^2-α^2+25–1 --> 2α=24 --> α=24/2 --> α=12 .
Άρα το βάθος της λίμνης είναι(ΝΚ)=12μ. Και το ύψος του καλαμιού είναι
(ΑΚ)=(ΑΝ)+(ΝΚ)=1+α=1+12 --> ΑΚ) =13μ. ο.ε.δ.
Το πρόβλημα αυτό παρουσιάζει όχι μόνο πρακτικό ενδιαφέρον, αλλά και
θεωρητικό (Αριθμοθεωρητικό), γιατί στο ορθογώνιο τρίγωνο εμφανίζεται η
Πυθαγόρεια Τριάδα α=12, β=5 και γ=13. Από αυτό συνάγουμε το
συμπέρασμα(;),ότι οι Κινέζοι γνώριζαν το Πυθαγόρειο Θεώρημα και τις
Πυθαγόρειες Τριάδες πριν το Πυθαγόρα.