Οι Βώλοι

Ο Νίκος έχει ένα κουτί γεμάτο βώλους. Όταν  τους μοιράζει σε σωρούς

των 11 ή των 13 βόλων του περισσεύουν δύο βώλοι. Ενώ, όταν τους 

μοιράζει σε σωρούς των 9 ή των 17  βόλων του περισσεύει ένας βώλος. 

Πόσους βώλους έχει το κουτί; (Κατ.5/Πρβ. Νο.17)

Λύση

Έστω ότι ο αριθμός των βώλων είναι "x". Βάσει των δεδομένων του πρώτου
σκέλους του προβλήματος θα ισούται με x = (11*13*α)+2. Βάσει των
δεδομένων του δευτέρου σκέλους του προβλήματος θα ισούται με
x = (9*17*β)+1.Επειδή είναι ίσα θα έχουμε:
(11*13*α)+2 = (9*17*β)+1 --> 143α+2 = 153β+1 --> 143α =153β+1-2 -->
143α = 153β-1.
Το δεύτερο σκέλος της εξισώσεως μπορεί να γραφεί και ως εξής:
153β-1= 143β+(10β-1), οπότε έχουμε:
143α=143β+(10β-1) --> 143α-143β=(10β-1)--> 143(α-β) = (10β-1) -->
(α-β) = (10β-1)/143 (1)
Η παράσταση (10β-1) είναι ένας αριθμός πολλαπλάσιος του 143, διότι
όταν διαιρεθεί με το143 πρέπει να δώσει ως πηλίκο έναν ακέραιο
αριθμό χωρίς υπόλοιπο. Τα πολλαπλάσια του 143 είναι: 143,286,429,572,715,858,1.001,1.144,1.287,1.430 κ.λπ.
Εάν προσθέσουμε τη μονάδα του αριθμητή στα πολλαπλάσια ο μόνος
αριθμός με μηδέν στο τέλος είναι 429 (429+1 = 430), ο οποίος
προκύπτει εάν δώσουμε στο "β" τη τιμή 43,[(10*43)-1] --> (430-1)=429,
οπότε διαιρείται ακριβώς από τον αριθμό 143. Άρα β = 43.
Αντικαθιστούμε τη τιμή του "β" στην (1) κι’ έχουμε:
(α-β) = (10β-1)/143 --> α-43 = [(10*43)-1]/143 --> α-43 =(430-1)/143 -->
α-43 = 429/143 --> α-43 = 3 --> α=3+43 --> α = 46
Επαλήθευση:
(11*13*α)+2=(9*17*β)+1 --> (11*13*46)+2=(9*17*43)+1 -->
6578+2=6579+1 --> 6580=6.580 ο.ε.δ.

Τα Πακέτα

 

Ο Μιχάλης θέλει να πακετάρει κάποια αντικείμενα για να τα στείλει 
με το ταχυδρομείο. Εάν βάλει 6 αντικείμενα σε κάθε κουτί, του 
περισσεύει ένα απ’ έξω. Εάν βάλει από 7  αντικείμενα  σε κάθε 
κουτί, στο τελευταίο κουτί μπαίνει ένα μόνο αντικείμενο  αντί για 
7. Τελικά, αποφασίζει να χρησιμοποιήσει το πρώτο τρόπο.  
Μπορείτε να βρείτε πόσα αντικείμενα και πόσα κουτιά έχει, με 
δεδομένο ότι πρέπει να βρείτε το μικρότερο δυνατό αριθμό; 
(Κατ.5/Πρβ. Νο.18)

Λύση

Έχει 43 αντικείμενα και 7 κουτιά. Εάν από το ζητούμενο αριθμό Ν
αφαιρέσουμε τη μονάδα, πρέπει να προκύψει ένας αριθμός που να
διαιρείται από τους αριθμούς 6 και 7.(Ν-1=Πολλαπλάσιο).
Ο αριθμός αυτός προκύπτει από το τύπο Μμ=1*2*3*,…,*μ = μ!
των μεταθέσεων: μ!=6*7=42
Ν-1=Πολλαπλάσιο --> Ν-1=42 --> Ν=42+1 --> Ν=43

Οι Αριθμοί

Ποιος είναι ο μικρότερος και ποιος ο μεγαλύτερος τριψήφιος 

αριθμός, του οποίου τα ψηφία πολλαπλασιαζόμενα μεταξύ 

τους μας δίνουν γινόμενο 35 και το άθροισμά των ψηφίων 

τους ισούται με 13; (Κατ.5/Πρβ. Νο.21)

Λύση

Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως έχουμε:
α * β * γ = 35   (1)
α + β + γ = 13  (2)
Οι μόνοι αριθμοί πολλαπλασιαζόμενοι μεταξύ τους που δίνουν ως γινόμενο
τον αριθμό 35 είναι οι 5 κι’ 7. Επειδή ο ζητούμενος αριθμός είναι
τριψήφιος, ο τρίτος αριθμός δεν μπορεί να είναι άλλος από τον αριθμό 1.
Άρα έχουμε:
Επαλήθευση:
1 * 5 * 7 = 35 και 1 + 5 + 7 =13 ο.ε.δ.
Επομένως, ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 157, ο 175, ο 517, ο 571, ο 715,και ο 751.

Οι Αγώνες Ταχύτητας

Τρεις φίλοι ραλίστες, ο Βαγγέλης , ο Θανάσης και ο Γιώργος, τρέχουν
σε μία κυκλική πίστα αγώνων με τις εξής επιδόσεις:.

• Ο Βαγγέλης για μία κυκλική περιστροφή δαπανά χρόνο ίσο με 2΄και 30΄΄.
• Ο Θανάσης για μία κυκλική περιστροφή δαπανά χρόνο ίσο με 2΄και 3/5΄΄.
• Ο Γιώργος για μία κυκλική περιστροφή δαπανά χρόνο ίσο με 3΄ και 15΄΄.

Έπειτα από πόσα λεπτά, από τη ταυτόχρονη εκκίνησή τους, θα
τερματίσουν και οι τρεις μαζί και πόσους γύρους πραγματοποίησε
ο καθένας; (Κατ.5/Πρβ. Νο.22)

Λύση

Αναγάγουμε τους τρεις χρόνους σε δευτερόλεπτα κι’ έχουμε:
Βαγγέλης: 2΄ και 30΄΄--> 2*60΄΄+ 30΄΄= 120΄΄+ 30΄΄= 150΄΄
Θανάσης: 2΄και 3/5΄΄--> 2*60΄΄+(3/5΄΄)*60΄΄= 120΄΄+3*12΄΄=120΄΄+36΄΄=156΄΄
Γιώργος: 3΄ και 15΄΄ --> 3*60΄΄ +15΄΄ = 180΄΄ +15΄΄ = 195΄΄
Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των τριών ανωτέρω χρόνων.
Ε.Κ.Π. = 2*2*3*5*13*5 = 3.900΄΄ --> Ε.Κ.Π. = (2^2)*(5^2)*3*13 = 3.900΄΄
Αναγάγουμε τα δευτερόλεπτα σε πρώτα λεπτά κι’ έχουμε: 3.900΄΄:60΄΄=65΄
α) Χρόνος τερματισμού και των τριών μαζί μετά από 65΄, δηλαδή 1 ώρα
και 5΄ λεπτά.
β) Γύρους που πραγματοποίησε ο καθένας:
Βαγγέλης: 3.900΄΄:150΄΄ = 26 Γύρους.
Θανάσης: 3.900΄΄:156΄΄ = 25 Γύρους
Γιώργος: 3.900΄΄:195΄΄ = 20 Γύρους

Η Ηλικία του Καθηγητή

Ρώτησαν οι μαθητές τον καθηγητή της Χημείας πόσο χρονών είναι.

Αυτός τους απάντησε:

-"Η ηλικία μου σε εβδομάδες είναι ένας αριθμός που:

• Διαιρούμενος με το 2 αφήνει υπόλοιπο 1
• Διαιρούμενος με το 3 αφήνει υπόλοιπο 2
• Διαιρούμενος με το 4 αφήνει υπόλοιπο 3
• Διαιρούμενος με το 5 αφήνει υπόλοιπο 4
• Διαιρούμενος με το 6 αφήνει υπόλοιπο 5
• Διαιρούμενος με το 7 αφήνει υπόλοιπο 6
• Διαιρούμενος με το 8 αφήνει υπόλοιπο 7
• Διαιρούμενος με το 9 αφήνει υπόλοιπο 8
• Διαιρούμενος με το 10 αφήνει υπόλοιπο 9"

Να βρεθεί η ηλικία του καθηγητή.

Διευκρίνιση:

Το πρόβλημα είναι απλό. Το σημαντικό είναι να βρεθεί ένας απλός 

τρόπος υπολογισμού και το σκεπτικό. (Κατ.5/Πρβ. Νο.24)

Λύση

Είναι προφανές ότι αν x η ηλικία του καθηγητή σε εβδομάδες τότε το (x + 1)
διαιρείται με τους αριθμούς 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 και 10, άρα είναι το
Ε.Κ.Π. αυτών των αριθμών και κάθε πολλαπλάσιό του. Όμως το Ε.Κ.Π. των
αριθμών (2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9, 10) είναι το 2.520, άρα (x + 1) = 2.520 =>
x = 2.520 – 1 => x = 2.519 εβδομάδες.
Αναγάγουμε τις εβδομάδες σε έτη κι’ έχουμε 2.519:52 = 48,44 ετών. Οι
λύσεις πολλαπλάσια του 48,44 (48 ετών και 44 ημερών) δεν αποτελούν,
στην εποχή μας τουλάχιστον, λογική λύση.

Περί Παραγοντικού

Βρείτε ποιο ψηφίο παριστάνει το (a) στο ανωτέρω παραγοντικό.
(Κατ.5/Πρβ. Νο.28) 

Λύση

Ο αριθμός του παραγοντικού πρέπει να διαιρείται με το 9, οπότε και
το άθροισμα των ψηφίων του πρέπει να διαιρείται με το 9.
Αθροίζοντας τ’ανωτέρω ψηφία έχουμε ως αποτέλεσμα:
5+1+0+9+0+9+4+α+1+7+1+7+0+9+4+4+0+0+0+0 --> (61+α/9) (1)
Διερεύνηση:
Δίδοντας στο «a» τις τιμές από το 1 έως το 9, βλέπουμε ότι η συνθήκη
ισχύει μόνον όταν το «a» λάβει τη τιμή «2». Οπότε a = 2
21! = 51090942171709440000/9 = 5676771352412160000
21! = 51090942171709440000 =
5+1+0+9+0+9+4+2+1+7+1+7+0+9+4+4+0+0+0+0 = 63:9=7
Επαλήθευση:
Αντικαθιστούμε τη τιμή του «a» στην (1) κι’ έχουμε:
(61+α/9) = (61+2/9) = 63/9 = 7    ο.ε.δ.

Στο Εστιατόριο

Τέσσερα ζευγάρια μπαίνουν σ’ ένα εστιατόριο. Την ώρα που 
επρόκειτο να καθίσουν γύρω από ένα στρογγυλό τραπέζι, 
αποφασίζουν ώστε καμία κυρία να μη καθίσει δίπλα στο 
σύζυγό της. Φυσικά, κάθισαν διαδοχικά ένας άνδρας και μια 
γυναίκα πλάϊ-πλάϊ δίχως να είναι αντρόγυνο. 
Πόσες διαφορετικές θέσεις προκύπτουν από τις αλλαγές που 
κάνουν; (Κατ.5/Πρβ. Νο.29)

Λύση

Σημειώνουμε τους τέσσερις συζύγους με τα γράμματα Α, Β, Γ και Δ. Ας
υποθέσουμε ότι ο Α κάθεται σε μια οποιαδήποτε θέση του τραπεζιού,
οπότε απέναντί του έχει έναν από τους Β ή Γ ή Δ και σε κάθε περίπτωση,
οι δύο άλλοι, μπορούν να είναι αριστερά ή δεξιά του. Συνολικά 3*2
θέσεις έκαστος = 6 θέσεις. Σε κάθε μια από αυτές τις θέσεις
μόνο δύο κυρίες μπορούν ν’ αλλάξουν θέσεις, που μας δίνει: 6*2 = 12
θέσεις.Επομένως οι δυνατοί συνδυασμοί είναι 12.