Το Γινόμενο των Ηλικιών ΙΙ

Το γινόμενο των ηλικιών μιας μητέρας και των τριών παιδιών της ισούται με 41.041. Να βρεθούν:

(α) Οι ηλικίες των παιδιών.

(β)Η ηλικία της μητέρας.

(γ) Πριν πόσα χρόνια το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών της ήταν ίσο με την ηλικία της μητέρας;

Διευκρίνιση:

Η διαφορά στο πρόβλημα (ΙΙ) από το πρόβλημα (Ι) έγκειται  στην πρόταση (γ) εν σχέσει με την πρόταση (ii) στο πρόβλημα (Ι). Βλέπε εδώ:

https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=4661842447490996112#editor/target=post;postID=7083634674854551389;onPublishedMenu=allposts;onClosedMenu=allposts;postNum=21;src=postname

(Κατ.34)

Πηγή:https://drive.google.com/file/d/0Bw22VI38b4XDalVsNks4SHpRY0k/view

Πηγή: 5^ος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Ο Επιμενίδης», Α΄ Γυμνασίου 29-10-2016

Λύση

Λύση του Voulagx.
http://users.uoi.gr/abeligia/NumberTheory/NT2014/NT_TheoreticalTopics2014.pdf
Συμφωνα με τα Κριτηρια Δαιρετοτητας του ανωτερω λινκ, εχουμε:
α=41041=10*4104+1
Α)Διαιρετοτητα δια του 7:
4104-2*1=4102
410-2*2=406
40-2*6=28=4*7=πολλ7 άρα: 7/41041
Β)Διαιρετοτητα δια του 11:
4*(-1)^5+1*(-1)^4+0*(-1)^3+4*(-1)^2+1*(-1)^1=-4+1-0+4-1=0=πολλ11 άρα: 11/41041
Γ)Διαιρετοτητα δια του 13:
4104-9*1=4095
409-9*5=364
36-9*4=36-36=0=πολλ9 άρα:13/41041
Συνεπως: 7*11*13/41041 και: 7*11*13*χ=41041 <=> χ=41041/(7*11*13)=41041/1001=41
Προφανως η ηλικια της μητερας ειναι 41 και των παιδιων 7,11 και 13.
Εστω οτι πριν απο χ χρονια το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών της ήταν ίσο με την ηλικία της μητέρας. Τοτε:
(41-χ)=(13-χ)(11-χ)(7-χ), 0 μικρότερο χ μικρότερο 7
η εξισωση επαληθευεται για: χ=6.
Λύση του θεματοδότη.
Πριν 6 χρόνια το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών της ήταν ίσο με την ηλικία της μητέρας. Αναλύουμε τον αριθμό 41.041 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων κι’ έχουμε:
41.041=7*11*13*41
Επομένως οι ηλικίες των τριών παιδιών είναι:
(α) 7 ετών, 11 ετών, και 13 ετών αντιστοίχως.
(β)Και της μητέρας η ηλικία είναι: 41 ετών.
(γ) Έστω ότι πριν από «y» χρόνια το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών ήταν ίσο με την ηλικία της μητέρας.
Πριν «y» χρόνια ήταν:
Ηλικία μητέρας: (41–y)
Ηλικίες παιδιών: (7–y), (11–y), και (13–y) αντίστοιχα.
Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
(41–y) = (7–y)*(11–y)*(13–y) (1)
(41–y) = -y^3+31*y^2–311*y+1.001
y^3–31*y^2+310*y–960=0
(y–6)*(y^2–25*y+160)=0
(y–6) = 0 ή (y^2–25*y+160)=0 (αδύνατη, διότι έχει Δ = -15 < 0)
Άρα: y=6
Επομένως πριν από 6 χρόνια το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών ήταν ίσο με την ηλικία της μητέρας.
Επαλήθευση: Πριν 6 χρόνια ήταν:
Ηλικία μητέρας: 41–6 = 35 ετών
Ηλικίες παιδιών: 7–6=1έτους, 11–6=5ετών, και 13–6=7ετών αντίστοιχα και το γινόμενο των ηλικιών τους ισούται με 1*5*7 = 35
Επαλήθευση:
(41–y) = (7–y)*(11–y)*(13–y) ---> 41-6=(7-6)*(11-6)*(13-6) ---> 35=1*5*7 ο.ε.δ.

Ο Βαθμός

Ο Κώστας στο μάθημα των μαθηματικών θα διαγωνιστεί σε τέσσερα διαγωνίσματα των 100 βαθμών το καθένα. Έθεσε ως στόχο να συγκεντρώσει μέσο όρο τουλάχιστον 95 βαθμούς. Στα δύο πρώτα διαγωνίσματα συγκέντρωσε 97 μονάδες στο πρώτο και 91 μονάδες στο δεύτερο. Όταν είδε το βαθμό του τρίτου διαγωνίσματος επιβεβαιώθηκε ότι υπήρχαν ακόμα περιθώρια  για να φτάσει στο στόχο του. Ποιος θα μπορούσε να ήταν ο πιο χαμηλός βαθμός του 3^ου διαγωνίσματος; (Κατ.34)
Πηγή: Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία για Α΄ Γυμνασίου 2013-2014

Λύση

Λύση του Voulagx
Εστω χ και ψ οι βαθμοι στα δυο τελευταια διαγωνισματα. Τοτε:
(97+91+χ+ψ)/4>=95
(97+91)/4+(χ+ψ)/4>=95
188/4+(χ+ψ)/4>=95
47+(χ+ψ)/4>=95
(χ+ψ)/4>=95-47
(χ+ψ)/4>=48
χ+ψ>=48*4
χ+ψ>=192
Πρεπει να βαθμολογηθηκε για 92 στο τριτο διαγωνισμα, αν γραψει για 100 στο τεταρτο διαγωνισμα θα εχει πετυχει τον στοχο του.

Λύση του Θεματοδότη
Ο πιο χαμηλός βαθμός του τρίτου διαγωνίσματος πρέπει να είναι 92 μονάδες.
Το άθροισμα όλων των γραπτών πρέπει να είναι:
95*4=380 μονάδες.
Αφού στα δύο πρώτα έγραψε 97 και 91, άρα στα άλλα δύο πρέπει να γράψει: 380−97−91=192 μονάδες.
Ο πιο ψηλός βαθμός στο 4ο διαγώνισμα είναι το 100, άρα ο πιο χαμηλός βαθμός που μπορεί να πάρει στο 3ο διαγώνισμα είναι:
192−100=92 μονάδες.

Οι Ομάδες

Στο πρωτάθλημα ποδοσφαίρου μια χώρας, κάθε ομάδα έπαιξε με όλες τις υπόλοιπες ομάδες δύο αγώνες, εντός και εκτός έδρας. Εάν παίχθηκαν συνολικά 240 αγώνες, πόσες ήταν οι ομάδες που συμμετείχαν στο πρωτάθλημα; (Κατ.34)

Πηγή:Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου Κεφ.2, πρβ. 8, σελ.101, εκδ. Ο. Ε. Δ. Β. Α.

Λύση

Λύση του Voulagx.
Εστω ν=2κ αρτιος ο αριθμος των ομαδων. Καθε ομαδα παιζει: 2(ν-1)=2(2κ-1) αγωνες, που ειναι και ο αριθμος των αγωνιστικων ημερων. Καθε αγωνιστικη ημερα διεξαγονται: ν/2=κ αγωνες, αρα ο αριθμος των αγωνων ολου του πρωταθληματος ειναι: κ[2(2κ-1)]. Συνεπως:
κ[2(2κ-1)]=240 <=> κ(2κ-1)=120 <=> 2κ^2-κ-120=0
απ' οπου προκυπτει: κ=8 αρα: ν=2*8=16 ο αριθμος των ομαδων.

Ένα Παλιό Ρωσικό Πρόβλημα

Τρεις αδελφές πήγαν στο παζάρι να πουλήσουν κοτόπουλα. Η πρώτη αδελφή είχε 10 κοτόπουλα, η δεύτερη αδελφή είχε 16 κοτόπουλα, και η τρίτη αδελφή είχε 26 κοτόπουλα . Πούλησαν ένα μέρος από τα κοτόπουλα με τη ίδια τιμή. Το απόγευμα με το φόβο ότι θα τους έμεναν τα κοτόπουλα έριξαν τη τιμή και πούλησαν όλα τα υπόλοιπα κοτόπουλα με την ίδια τιμή. Στο τέλος της ημέρας κάθε αδελφή εισέπραξε 35 ρούβλια από την πώληση των κοτόπουλων.

Με ποια τιμή πούλησαν το ένα μέρος από τα κοτόπουλα το πρωΐ και με ποια τιμή πούλησαν τα υπόλοιπα κοτόπουλα το απόγευμα; (Κατ.34)

Πηγή:http://omathimatikos.gr/?p=1567

Λύση

(α)Το πρωί πούλησαν τα κοτόπουλα προς 3,75 ρούβλια το καθένα.
Η πρώτη αδελφή πούλησε 9 κοτόπουλα προς 3,75 ρούβλια και εισέπραξε 33,75 ρούβλια.
Η δεύτερη αδελφή πούλησε 6 κοτόπουλα προς 3,75 ρούβλια και εισέπραξε 22,50 ρούβλια.
Και η τρίτη αδελφή πούλησε 1 κοτόπουλο προς 3,75 ρούβλια και εισέπραξε 3,75 ρούβλια.
(β)Το απόγευμα πούλησαν τα κοτόπουλα προς 1,25 ρούβλια το καθ’ ένα.
Η πρώτη αδελφή πούλησε το τελευταίο κοτόπουλο προς1,25 ρούβλια και εισέπραξε 1,25 ρούβλια.
Η δεύτερη αδελφή πούλησε τα 10 κοτόπουλα προς 1,25 ρούβλια και εισέπραξε 12,50 ρούβλια.
Και η τρίτη αδελφή πούλησε τα 25 κοτόπουλα προς 1,25 ρούβλια και εισέπραξε 31,25 ρούβλια.
Η πρώτη αδελφή εισέπραξε συνολικά 1,25+ 33,75 = 35 ρούβλια.
Η δεύτερη αδελφή εισέπραξε συνολικά 12,5 + 22,5 = 35 ρούβλια.
Η τρίτη αδελφή εισέπραξε συνολικά 31,25 + 3,75 = 35 ρούβλια.

Ο Αριθμός

Το ανωτέρω σκαληνό τρίγωνο έχει πλευρές ΑΒ=4εκ., ΑΓ=6εκ., και ΒΓ=8εκ. Εάν αυξήσουμε τις πλευρές κατά «x» εκ., τότε το τρίγωνο μετασχηματίζεται σε ορθογώνιο. Να βρεθεί η τιμή του «x». (Κατ.34)

Πηγή: 
 Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου Κεφ.2, πρβ. 8, σελ.101, εκδ. Ο. Ε. Δ. Β. Α.

Διαβάστε περισσότερα »

Ο Δρομέας

Ένας δρομέας μπορεί να τρέξει από το σημείο «Κ» έως στο σημείο «Λ» και να επιστρέψει στο σημείο «Κ» σ’ ένα ορισμένο χρόνο με σταθερή ταχύτητα 4Km./h. Εάν τρέξει από το σημείο «Κ» προς το σημείο «Λ» με ταχύτητα 3Km./h και επιστέψει από το σημείο «Λ» προς το σημείο «Κ» με ταχύτητα 5Km./h, χρειάζεται 10λεπτά περισ-σότερο για την συνολική διαδρομή. Πόση χιλιόμετρα είναι η διαδρομή «Κ-Λ»; (Κατ.34)

Πηγή: Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου Κεφ.12, πρβ.12,20, σελ.244, εκδ. Σαββάλας.

Λύση

Η διαδρομή είναι 5Km.. Έστω «x» Km. η διαδρομή «Κ-Λ». Ο χρόνος που χρειάζεται ο δρομέας για να διατρέξει τη διαδρομή Κ-Λ-Κ, όταν κινείται με σταθερή ταχύτητα, είναι t=2x/4 ---> t=x/2. Για τη διαδρομή Κ-Λ με ταχύτητα 3Km./h ο χρόνος που απαιτείται είναι t=x/3 και για τη διαδρομή «Λ-Κ» με ταχύτητα 5Km./h ο χρόνος που απαιτείται είναι t=x/5. Οπότε έχουμε την εξίσωση:
[(x/3)+(x/5)]=[(x/2+(10/60)] (1)
(5x+3x)/15=(30x+10)/60
8x/15=(30x+10)/60
60*8x=15*(30x+10)
480x=450x+150
480x-450x=150
30x=150
x=150/30
x=5 (2)
Άρα η διαδρομή «Κ-Λ» είναι 5Km.
Επαλήθευση:
[(x/3)+(x/5)]=[(x/2+(10/60)]
[(5/3)+(5/5)]=[(5/2)+(10/60)
[(5/3)+1]=[(5/2)+(1/6)]
(5+3)/3=[[(3*5)+1]/6]
8/3=(15+1)/6
8*6=3*16
48=3*16

Ο Εργάτης

Ένας εργάτης συμφώνησε με τον εργοδότη του να πληρώνεται με τον εξής τρόπο:

Για κάθε μέρα εργασίας θα πληρώνεται 48€, ενώ για κάθε μέρα που δεν θα εργάζεται να επιστρέφει 12€ στον εργοδότη.

Μετά από 30 μέρες ο εργοδότης δεν χρωστούσε τίποτα στον εργάτη και ο εργάτης δεν επέστρεψε χρήματα στον εργοδότη. Πόσες ημέρες εργάστηκε ο εργάτης; (Κατ.34)
Πηγή:Quantum:Μαθηματικοί Γρίφοι (Τόμος 1^ος, πρβ.6, Σελ.18)

Λύση

Ο εργάτης εργάστηκε 6 ημέρες, δηλαδή το (1/5) των συνολικών ημερών. Έστω «x» οι ημέρες που εργάστηκε ο εργάτης, τότε (30-x) θα είναι οι μέρες που δεν εργάστηκε. Οπότε, 48x € θα χρωστάει ο εργοδότης στον εργαζόμενο, ενώ ο εργαζόμενος θα πρέπει να του επιστρέψει 12*(30-x). Αυτά τα δυο ποσά είναι ίσα μετά από 30 ημέρες, βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
48x = 12*(30-x) (1)
48x = 360-12x ---> 48x+12x = 360 ---> 60x = 360 ---> x =360/60 ---> x = 6 (2)
Άρα ο εργάτης δούλεψε μόνο 6 ημέρες από τις 30 ημέρες που ήταν η συμφωνία.
Επαλήθευση:
48x = 12*(30- x) ---> 48*6=12*(30-6) ---> 288=12*24 ο.ε.δ.
Βάσει της συμφωνίας που έγινε για τη πληρωμή του έχουμε:
Ημέρες που εργάστηκε:.................. 6*48€ =..........288€ (Πληρωμή)
Ημέρες που δεν εργάστηκε: (30-6)*12€ = 24*12€ =-288€ (Επιστροφή)
............................................................Υπόλοιπο: 000€
Από τ’ ανωτέρω συνάγεται ότι δεν χρωστούσε τίποτε ο ένας στον άλλον.

Η Θέση

Ο Κώστας πήγε στον κινηματογράφο «Αθήναιον» να δει την ταινία «Καζαμπλάνκα». Λόγω της ταινίας υπήρχαν μπροστά στο ταμείο μαζί με το Κώστα 17 άτομα. Μπροστά του υπάρχουν τριπλάσια άτομα απ’ όσα βρίσκονται πίσω του. Ποια είναι η θέση του από την αρχή της σειράς;

Διευκρίνιση:

Η σειρά ξεκινάει από το ταμείο. (Κατ.34)

Λύση

Λύση του Voulagx
Έστω «ν» ο αριθμός της θέσης του Κώστα, με "1" μικρότερο του "ν" μικρότερο του "17". Τότε:
ν-1=3(17-ν) ---> ν-1=51-3ν ---> 3ν+ν=51+1 ---> 4ν=52 ---> ν=52/3 ---> ν=13
Άρα ο Κώστας βρίσκεται στη 13η θέση.
Επαλήθευση:
ν-1=3*(17-ν) ---> 13-1=3*(17-13) ---> 12=3*4
Λύση του συντονιστή
Ο Κώστας βρίσκεται στην 13η θέση της ουράς. Τα άτομα που περιμένουν στη σειρά χωρίς το Κώστα είναι:
17-1=16 άτομα.
Τα 16 άτομα είναι χωρισμένα σε 4 ίσα μέρη, από τα οποία τα τρία τέταρτα βρίσκονται μπροστά από το Κώστα και το ένα τέταρτο πίσω του. Επομένως μπροστά του βρίσκονται:
16*(3/4)=4*3=12 άτομα.
Άρα ο Κώστας βρίσκεται στην 13η θέση της ουράς που περιμένει στο ταμείο.

Τα Χρήματα

Ο κ. Ασημάκης μια μέρα αποφάσισε να πάει παρέα με τους φίλους του σε μια ταβέρνα στη γειτονιά του για να θυμηθούν τα παλιά. Αφού παραγγείλανε τα σχετικά, αρχίσανε να συζητάνε και να θυμούνται τα περασμένα πίνοντας, τρώγοντας και τραγουδώντας παλιά τραγούδια. Έτσι πέρασε η ώρα και ο κ. Ασημάκης αποφάσισε να φύγει. Αφού πλήρωσε το λογαριασμό διαπίστωσε ότι είχε στο πορτοφόλι του τόσα λεπτά όσα ήταν τα ευρώ που είχε αρχικά. Επίσης τα ευρώ που έχει μετά την πληρωμή του λογαριασμού είναι τα μισά από τα λεπτά που είχε αρχικά. (π.χ. αρχικά είχε 12,10€ και μετά την πληρωμή του λογαριασμού έχει 5,12€). Τα οποία αντιστοιχούν στα μισά από αυτά που είχε στην αρχή πριν πληρώσει τον λογαριασμό. Πόσα χρήματα είχε αρχικά; (Κατ.34)

Λύση

Ο κ. Ασημάκης αρχικά είχε στο πορτοφόλι του 99,98€ και μετά τη πληρωμή του λογαριασμού είχε στο πορτοφόλι του 49,99€ που αντιστοιχούν στα μισά χρήματα που είχε αρχικά. Ο κ. Ασημάκης αρχικά είχε α € και β λεπτά μετά την πληρωμή του λογαριασμού είχε (β/2)€ και α λεπτά. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
α = 2*(β/2)+1 (1)
β = 2α–100 (2)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
α = 2*(β/2)+1 ---> α= β + 1 (3)
Αντικαθιστούμε τη (2) στη (3) κι’ έχουμε:
α = β+1 ---> α = 2α–100+1 ---> α = 99 (4)
Αντικαθιστούμε τη (4) στη (2) κι’ έχουμε:
β = 2α – 100 ----> β=[(2*99)-100] ---> β=198-100 ---> β=98 (5)
Επαλήθευση:
α = 2 *(β/2)+1 ---> α=2*(98/2)+1 ---> α=98+1 ----> α=99
β = 2α–100 ---> [(2*99)-100] ----> β=198-100 ----> β=98

Το Λάθος

Ο κ. Ασημάκης, συνταξιούχος του δημοσίου, πάει στην τράπεζα για να εξαργυρώσει μια επιταγή, η οποία ήταν «x» ευρώ  και «ψ» λεπτά. Ο ταμίας έκανε λάθος και του έδωσε «ψ» ευρώ και «x» λεπτά. Ο κ. Ασημάκης μη αντιλαμβανόμενος  το λάθος που έγινε φεύγει από την τράπεζα για να πάει στο σπίτι του. Στο δρόμο, πηγαίνοντας για το σπίτι, συνάντησε έναν φτωχό και του έδωσε 5 λεπτά!!. Φτάνοντας στο σπίτι διαπιστώνει ότι τα λεφτά που έχει στο πορτοφόλι είναι τα διπλά από ότι ήταν το ποσόν της επιταγής. Μπορείτε να βρείτε το ποσόν της επιταγής;

Διευκρίνηση:

Πριν ξεκινήσει ο κ. Ασημάκης για να πάει στην τράπεζα δεν είχε χρήματα. (Κατ.34)

Λύση

Το ποσόν της επιταγής του κ. Ασημάκη ήταν 31,63€. Έστω «χ» ευρώ και «ψ» λεπτά. Ο κ. Ασημάκης έπρεπε να πάρει (100χ+ψ) ευρώ ενώ ο ταμίας του έδωσε κατά λάθος (100ψ+χ) ευρώ. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
5+2*(100χ+ψ)=100ψ+χ (1)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
5+2*(100χ+ψ)=100ψ+χ ---> 5+200χ+2ψ=100ψ+χ ---> 200χ-χ=100ψ-2ψ-5 ---> 199χ=98ψ-5 ---> χ=(98ψ-5)/199 (2)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "ψ" τις τιμές από το 1 έως το Ν, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό "χ" είναι ο αριθμός ψ=63
Αντικαθιστούμε τη τιμή του «ψ» στη (2) κι’ έχουμε:
x=(98ψ-5)/199 ---> x=[(98*63)-5]/199 ---> x=( 6.174-5)/199 --->
x=6.169/199 ---> x=31 (3)
Επαλήθευση:
Λανθασμένη εξαργύρωση της επιταγής από τη ταμία:63,31€
Ποσό επιταγής:31,63€
Διαφορά:
63,31-31,63= 31,68€ (31,63€+0,05€)
Έδωσε 5 λεπτά στο φτωχό, οπότε του έμειναν:
63,31-0,05=63,26€
που αντιστοιχούν στο διπλάσιο ποσό από αυτό που έπρεπε να πάρει. (31,63€*2)
Επαλήθευση:
5+2*(100x+ψ)=100ψ+x ---> 5+2*[(100*31)+63]=[(100*63)+31] ---> 5+2*(3.100+63)=6.300+31 ---> 5+6.200+126=6.331 ο.ε.δ.
Διαφορετικός Τρόπος Λύσης:
Ο κ. Ασημάκης έπρεπε να πάρει α € και β λεπτά αλλά πήρε β € και α λεπτά.
Άρα τελικά (δίνοντας τα 5 λεπτά στο φτωχό) έμεινε με β € και (α-5) λεπτά
Η σχέση διπλάσιο στα λεφτά είναι στην ουσία δυο περιπτώσεις:
1. α € και β λεπτά –> 2α € και 2β λεπτά πχ 1,30 –> 2,60€
2. α € και β λεπτά –> (2α+1) € και (2β-100) λεπτά πχ 1,70 –> 3,40€
Αν δοκιμάσουμε την πρώτη περίπτωση φτάνουμε σε αδύνατο σύστημα ενώ για τη δεύτερη περίπτωση έχουμε:
β = 2α + 1 (1)
α-5 = 2β – 100 (2)
Αντικαθιστούμε την (1) στη (2) κι’ έχουμε:
α-5 = 2β – 100 ----> α-5=2*(2α+1)-100 ----> α-5=4α+2-100 ----> 4α-α=100-5-2 ----> 3α=100-7 ----> 3α=93 ----> α=93/3 ----> α=31 (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι’ έχουμε:
β = 2α + 1 ----> β=[(2*31)+1] ----> β=62+1 ----> β=63
Η αξία της επιταγής ήταν 31,63€, από λάθος του ταμία πήρε 63,31€, δίνει 5 λεπτά στο φτωχό και του μένουν 63,26€ που είναι το διπλάσιο του 31,63€.