Το Αριθμόγραμμα

Να λύσετε το ανωτέρω αριθμόγραμμα:  Ίδια γράμματα συμβολίζουν ίδιους αριθμούς και διαφορετικά γράμματα διαφορετικούς αριθμούς.

Πηγή:http://dimarath.blogspot.com/2019/01/blog-post_95.html

Λύση

Έστω ΗΕ = x. Αντικαθιστούμε τη τιμή του (ΗΕ) στην εξίσωση, κι’ έχουμε:
(ΗΕ)^2=SHE ----> x^2=S+x ----> x^2=100S+x
Το (x2 – x) είναι ένας τριψήφιος αριθμός που λήγει σε δυο μηδενικά, δηλαδή, διαιρείται διά του 100. Αφού το (x2- x)= x*(x-1) είναι γινόμενο δύο πρώτων μεταξύ τους διαδοχικών αριθμών, ο ένας από τους δύο πρέπει να διαιρείται διά του 4 και ο άλλος διά του 25. Αν το x ή το (x-1) ισούται με 25k, όπου k≥2, τότε το γινόμενο
x*(x-1) ≥ 50*49 έχει περισσότερα από τρία ψηφία.
Άρα, είτε:
(x-1) =25 ----> x=25+1 -----> x=26
(το οποίο δεν διαιρείται διά του 4)
είτε :
x=25 και (x-1)=25-1=24
οπότε καταλήγουμε στη μοναδική λύση:
625 = 252