Πέμπτη 11 Οκτωβρίου 2018

Η Απόσταση IV

Σε μια πάροδο ανάμεσα σε δύο σπίτια υπάρχουν δύο σκάλες που στηρίζονται στα 
δύο σπίτια. Η απόσταση ΑΔ είναι 8μ. και η απόσταση ΓΒ είναι 10 μ. Οι σκάλες 
διασταυρώνονται σε ύψος 4μ. από το έδαφος. Πόσο απέχουν τα δύο σπίτια;  

 Λύση
Τα δύο σπίτια απέχουν περίπου 3,8μ. Από τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΓΔ, που σχηματίζουν οι σκάλες, βάσει του Πυθαγορείου Θεωρήματος έχουμε:
(ΑΓ)^2=(ΔΓ)^2-(ΑΒ)^2 ----> (ΑΓ)^2=10^2-α^2 (1)
(ΑΓ)^2=(ΑΔ)^2-(ΓΔ)^2 ----> (ΑΓ)^2=8^2-β^2 (2)
Επειδή οι εξισώσεις (1) και (2) είναι ίσες έχουμε:
(ΑΓ)^2=10^2-α^2=8^2-β^2 ----> 10^2-8^2=α^2-β^2 ----> α^2-β^2=100-64 ----> α^2-β^2=36 (3)
Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΓΔ συνάγουμε ότι:
4/α=q/(p+q) (4)
4/β=p/(p+q) (5)
Αθροίζουμε κατά μέλη τις (4) και (5) κι’ έχουμε:
4/α+4/β= q/(p+q)+ p/(p+q) ----> 4/α+4/β=1 (6)
Από την (6) συνάγουμε ότι:
4/α+4/β=1 ----> 4β+4α=1*αβ ----> 4α=αβ-4β ---->
4α=β*(α-4) ----> β=4α/(α-4) (7)
Αντικαθιστούμε την (7) στη (3) κι’ έχουμε:
α^2-β^2=36 ----> α^2-[4α/(α-4)]^2=36 ---->
α^2-[4^2α^2/(α-4)^2]^2=36 ----->
α^2-[16α^2/(α^2-2*4α+4^2]=36 ----->
α^2-[16α^2/(α^2-8α+16]=36 ----->
α^2*( α^2-8α+16)-16α^2=36*( α^2-8α+16) ---->
α^4-8α^3+16α^2-16α^2=36α^2-288α+576 ----> α^4-8α^3-36α^2+288α-576=0
Λύνοντας την εξίσωση βρίσκουμε ότι η ΑΓ ισούται με ≈ 3,8μ.
στις

4 σχόλια:

  1. Ανώνυμος12 Οκτωβρίου 2018 στις 6:38 π.μ.

    Εστω: ΑΒ=α<10, ΓΔ=β<8 και: ΑΓ=χ
    Απο προηγουμενη αναρτηση ξερουμε οτι: ΕΖ=4=αβ/(α+β) απ΄οπου προκυπτει οτι: β=4α/(α-4)
    Για να ειναι ο β θετικος πρεπει: 0<α-4 αρα: 4<α<10.
    Απο τα ορθογωνια τριγωνα ΒΑΓ και ΔΒΓ εχουμε:
    α^2+χ^2=10^2=100
    β^2+χ^2=8^2=64
    Αφαιρουμε κατα μελη: α^2-β^2=100-64=36 (1)
    Αντικαθιστωντας στην (1) το: β=4α/(α-4) προκυπτει η εξισωση:
    α^4-8α^3-36α^2+288α-576=0
    η οποια στο διαστημα (4,10) εχει μια λυση την α=9,25 περιπου.
    Οποτε: α^2+χ^2=10^2=100 ή (9,25)^2+χ^2=100 ή χ^2=100-85,5625
    και τελικα: χ=sqrt(100-85,5625)=3,79 περιπου.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Papaveri12 Οκτωβρίου 2018 στις 10:01 π.μ.

    @Ανώνυμος
    Συγχαρητήρια! Η απάντησή σας είναι σωστή.
    Μπορείτε να μου γράψετε αναλυτικά πως λύνεται η εξίσωση του 4ου βαθμού
    α^4-8α^3-36α^2+288α-576=0;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Ανώνυμος12 Οκτωβρίου 2018 στις 2:30 μ.μ.

    Για να λυσω την 4ου βαθμου εξισωση χρησιμοποιησα την μεθοδο των διαδοχικων προσεγγισεων τη βοηθεια λογιστικου φυλλου (Excel).

    Για την πληρη λυση της τεταρτοβαθμιας εξισωσης βλεπε εδω:
    http://users.sch.gr/pnomikos/eq3-4/eq3-4.html

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Papaveri12 Οκτωβρίου 2018 στις 3:15 μ.μ.

    @Ανώνυμος
    Σ' ευχαριστώ!!

    ΑπάντησηΔιαγραφή