Τα Χρήματα

Δύο φίλοι είχαν κάποια χρηματικά ποσά, έτσι ώστε το άθροισμα των ποσών του δεύτερου ήταν 3 και 1/4 φορές του πρώτου. Εάν οι δύο ποσότητες τους πολλαπλασιάζονταν μεταξύ τους και σ’ αυτό το γινόμενο προστίθεντο οι δύο ποσότητες τα χρηματικά ποσά θα ανέρχονταν σε 142 και 1/2. Πόσα χρήματα είχε ο καθένας;
Πηγή:

Από το βιβλίο του Ουαλού μαθηματικού Robert Record (1510-1558) με τίτλο:

«The Whetstone of Witte – Το Ακονιστήρι της Εξυπνάδας ή Για ν’ Ακονίζετε το Μυαλό σας.», 1557
 Λύση

Συνολικά και οι δύο φίλοι είχαν 25,50 νομίσματα. Ο πρώτος είχε 6 νομίσματα και ο δεύτερος είχε 19,50 νομίσματα. Έστω «Π» τα νομίσματα του πρώτου φίλου και «Δ» τα νομίσματα του δεύτερου φίλου. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
Δ = 3Π+Π/4 (1)
Π*Δ+Π+Δ=142,50 (2)
Π+Δ=? (3)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
Δ = 3Π+Π/4 (1) ----> Δ = [(3*4Π)+Π]/4 ----> Δ = (12Π+Π)/4 ----->
Δ = 13Π/4 (4)
Αντικαθιστούμε τη (4) στη (2) κι΄έχουμε:
Π*Δ+Π+Δ=142,50 ----> Π*13Π/4+Π+13Π/4=142,50 ---->
1*13Π^2+4Π+13Π=4*142,50 ----> 13Π^2+17Π= 570 -----> 13Π^2+17Π-570=0 (5)
Βάσει του τύπου x={-β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχουμε:
Π={-β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α ---->
Π= -17±sqrt[(17)^2-4*13*(-570)]/2*13 ---->
Π = -17±sqrt[289+29.640]/26 ----> Π = -17±sqrt (29.929)/26 ---->
Π = (-17±173)/26 ----> Π = (-17+173)/26 -----> Π = 156/26 ----> Π = 6 (6)
Αντικαθιστούμε την (6) στη (4) κι’ έχουμε:
Δ = 13Π/4 ----> Δ = (13*6)/4 ----> Δ= 78/4 ----> Δ= 19,5 (7)
Επαλήθευση:
Π*Δ+Π+Δ=142,50 ----> 6*19,50+6+19,50=142,50 ----> 117+6+19,50=142,50